Diferencia entre "transformación de Lorentz" y "ortocronía propia"

Question

Estoy haciendo un trabajo y me han dado una lista de $4 \times 4$ matrices y preguntó:

_¿Cuáles de los siguientes son Matrices de transformación de Lorentz ? ¿Cuáles son las propias y ortocronas?_

Pero, por lo que veo en mis notas y en la búsqueda en Internet, ambos son sinónimos. Es decir, una matriz $L$ es una transformación de Lorentz propiamente dicha si satisface

1. $L^{t}gL=g$ , donde $g={\rm diag}(-1,1,1,1)$

2. $L_{0}^{0}>0$

3. $det(L)=1$

¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Sus definiciones son, de hecho, las de las transformaciones de Lorentz adecuadas y ortocronas, no las de las transformaciones generales de Lorentz, ¡por eso le cuesta distinguir la diferencia! (Si te hace sentir mejor, ayer un colega y yo estábamos intentando depurar su configuración de prueba y pasaron dos horas de complejas pruebas antes de que los dos genios nos diéramos cuenta de que no habíamos encendido una pieza clave del equipo).

Una transformación general de Lorentz se define sólo por el criterio 1) - es simplemente cualquier transformación lineal que preserva la forma cuadrática $t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ .

Las transformaciones propias y ortocronas son las que pertenecen al componente conectado de identidad $SO^+(1,\,3)$ del grupo completo de Lorentz $O(1,\,3)$ . Es decir, las transformaciones propias y ortocronas son las que se pueden alcanzar desde el $4\times4$ matriz de identidad siguiendo un camino continuo a través del grupo de Lorentz. Equivalentemente, son las matrices que están en trayectorias a través del grupo de Lorentz definidas por la ecuación diferencial:

$$\begin{array}{lcl}\mathrm{d}_s L &=& (a_x(s)\, J_x + a_2(s)\, J_y+a_z(s)\, J_z + b_x(s)\, K_x + b_y(s)\, K_y+b_z(s)\, K_z)\,L\\L(0) &=& \mathrm{id}\end{array}\tag{1}$$

donde $\mathrm{id}$ es el $4\times 4$ identidad, $a_j(s),\,b(s)$ son funciones continuas del parámetro $s$ y el $J_j,\,K_J$ son seis matrices $4\times 4$ que abarcan el Álgebra de Lie del grupo de Lorentz, es decir el espacio vectorial real de todas las posibles "tangentes a la identidad", es decir todos los valores posibles de $\mathrm{d}_s L|_{s=0}$ . Un posible conjunto es:

$$\begin{array}{lcllcllcl}J_x&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}\right)&J_y&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}\right)&J_z&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\\K_x&=&\left(\begin{array}{cccc}0&10&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)&K_y&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)&K_z&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)\end{array}\tag{2}$$

(Vea cómo el $J_j$ son sesgadas-hermitianas, por lo que tienen valores propios puros e imaginarios, de modo que $\exp(a_j\, J_j)$ tiene cosas como $\sin,\,\cos$ de un ángulo y es una matriz de rotación, mientras que el $K_j$ son herméticos, con valores propios puramente reales, por lo que $\exp(b_j\, K_j)$ tiene cosas como $\sinh,\,\cosh$ de un rapidez y es una matriz de refuerzo pura).

Una descripción intuitiva: imagina que estás sentado en la consola del "hipermotor" de tu nave espacial: tiene dos bolas de oruga, cada una con sus propias palancas marcadas como "spin" y "boost", y un conjunto de acelerómetros: lineales y rotativos. Tu nave espacial se mueve inicialmente de forma inercial. Si haces rodar las bolas de seguimiento para fijar el eje de rotación y la dirección de impulso, respectivamente. Al tirar de las palancas, la palanca de giro acelera la velocidad angular en torno al eje de rotación, y la palanca de impulso acelera la velocidad lineal en la dirección de impulso. En otras palabras, el trackball "girar" y su palanca establecen los pesos de superposición $a_j(s)$ de la $J_j$ en (1) cuando utilizamos las definiciones de (2) y el trackball "boost" y su palanca establecen los pesos $b_j$ de la $K_k$ . Pasas por una secuencia de control, terminando de manera que tus acelerómetros leen cero, por lo que ahora un conjunto de $x,\,y,\,z$ Los ejes unidos a su nave espacial se mueven inercialmente con respecto al fotograma inicial. Las transformaciones adecuadas y ortocronas son precisamente cada transformación entre el fotograma inicial y un fotograma inercial que pueda alcanzar con sus mandos .

Sin embargo, hay otras transformaciones posibles que conservan la forma cuadrática $t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ que no cumplen sus criterios 2. y 3. pero que sólo siguen un patrón "simple" que los hace "no muy diferentes" del componente conectado de identidad. Un subgrupo discreto del completo El grupo de Lorentz es $\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$ con

$$P=\text{"parity flipper"} = \mathrm{diag}[1,\,-1,\,-1,\,-1];\\T=\text{''time flipper''} = \mathrm{diag}[-1,\,1,\,1,\,1]$$

Con la excepción de $\mathrm{id}$ , ninguna de ellas puede ser alcanzada desde la identidad por caminos que cumplan (1). Pertenecen a componentes conectados diferentes del componente de identidad $SO^+(1,\,3)$ . En efecto, el componente conectado de identidad es un subgrupo normal del grupo completo de Lorentz $SO(1,\,3)$ y el cociente $O(1,\,3) / SO^+(1,\,3)$ es el pequeño grupo $\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$ . Por lo tanto, cualquier transformación completa de Lorentz puede representarse como una transformación ortócrona propia seguida de una de $P,\,T$ o $P\,T$ . Hay cuatro componentes conectados separados en el grupo completo de Lorentz. (Un inciso: $\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$ es el "cuatrigrupo" de Klein: el único grupo posible de cuatro elementos además de $\mathbb{Z}_4$ ).

Para detectar una transformación no adecuada o no ortogonal, hay que hacer una de estas dos cosas:

1. Calcula el determinante de la matriz. Si es -1, entonces sabes que tiene que incluir uno de $P$ o $T$ , por lo que no es apropiado o no es ortocrónico. Se puede diferenciar aún más el $P$ y $T$ cosets mirando el $L_0^0$ componente de la transformación: el $T$ El coset tiene $L_0^0<0$ ya que dicha transformación intercambia los papeles del "futuro" y del "pasado" (en realidad refleja el espacio vectorial de Minkowsky en el $t=0$ plano).

2. Si el determinante es $+1$ entonces puede pertenecer al $P\,T$ conjunto de $O(1,\,3)$ . Como en el punto 1, el $T$ coset y el $P\,T$ coset pueden reconocerse como transformaciones con $L_0^0<0$

Answer 2

Eso es cierto.

Sin embargo, no es necesario que todas las transformaciones de Lorentz sean propias ( $det(L) = 1$ ) o ortócrono $L_0^0 \geq 1$ por ejemplo,

• transformación de la paridad $diag(1,-1,-1,-1)$ es improcedente (ya que $det(L) = -1$ ) pero ortocrónico (ya que $L_0^0 = 1)$

• mientras que la inversión del tiempo $diag(-1,1,1,1)$ es una transformación no ortogonal (ya que $L_0^0 = -1)$