Nota: Por superficie "analítica no algebraica" me refiero a una variedad analítica compacta bidimensional $X$ (sobre $\mathbb{C}$ ) que no es una variedad algebraica.
Una propiedad del ejemplo de Nagata (ver el final del post para la construcción) de una superficie analítica normal no algebraica $X$ es la siguiente:
( $\star$ ) $\quad$ Hay un punto $P$ en $X$ tal que toda curva algebraica (compacta) $C$ en $X$ pasa a través de $P$ .
En un artículo que estoy escribiendo también he construido (para mi sorpresa) algunos ejemplos de superficies analíticas normales no algebraicas que tienen esta peculiar propiedad.
Preguntas: ¿Es este tipo de comportamiento "normal" para tales superficies? O, más exactamente, si una superficie analítica no satisface ( $\star$ ), ¿es necesariamente algebraico? ¿Y para dimensiones superiores?
Construcción de Nagata (siguiendo el libro de Bădescu sobre superficies): Comienza con un plano liso cúbico $C$ y un punto $P$ en $\mathbb{P}^2$ tal que $P - O$ no es un punto de torsión (donde $O$ es cualquiera de los puntos de inflexión de $C$ ) en $C$ . Sea $X_1$ sea la explosión de $\mathbb{P}^2$ en $P$ y para cada $i \geq 1$ , dejemos que $X_{i+1}$ sea la explosión de $X_i$ en el punto de intersección de la transformada estricta de $C$ y el divisor excepcional en $X_i$ . Cada ampliación disminuye el número de auto-intersección de la transformación estricta $C_i$ de $C$ por $1$ para que el $X_{10}$ el número de autointersección de $C_{10}$ es $-1$ . $X$ es el golpe de $X_{10}$ a lo largo de $C_{10}$ . Por algunos teoremas de Grauer y Artin, $X$ es una superficie analítica normal.
