¿Cómo se genera la fuerza normal en la cuña?

Question

Supongamos que tenemos una cuña un bloque mantenido sobre ella como se muestra y consideramos que todas las superficies son lisas:

Ahora bloquea $M$ y $m$ ejercerá de forma normal ( $N$ ) entre sí con la misma magnitud.

Como sólo la fuerza ejercida por $m$ en $M$ es $mg\cos\theta$ tomamos $N$ ejercida por $m$ en $M$ sea $mg\cos\theta$ Si es así, como la fuerza se ejerce sobre $M$ comenzará a moverse hacia la izquierda debido a la componente horizontal de $N$ Pero, ¿cómo puede entonces $mg$ ¿poseer su efecto en dirección perpendicular a ella?

Si este no es el caso entonces es seguro que la velocidad horizontal de $M$ será debido a $N$ , lo que debería implicar que $N\neq mg\cos\theta$ Así que, ¿qué debería $N$ ¿Igual que? Si sólo la fuerza en $M$ por $m$ es $mg\cos\theta$ ¿Qué me falta?

Answer 1

La respuesta corta

Olvida el análisis cuantitativo de fuerzas que has hecho. (Hay algunos errores en él. Por nombrar uno importante, la fuerza de reacción normal entre los bloques no será $mg\cos\theta$ .) Respondamos cualitativamente a las dos preguntas siguientes:

¿La cuña se acelerará horizontalmente o no?

Lo hará.

Razón: Analizaremos todo en el marco del suelo. Supongamos que la cuña no se acelera horizontalmente. Se puede ver fácilmente que el bloque en la cuña se moverá ciertamente hacia abajo a lo largo de la superficie de la cuña con cierta aceleración. Como la superficie de la cuña está inclinada respecto a la horizontal con un ángulo distinto de $\dfrac{\pi}2$ hay una componente no nula de la aceleración del bloque en la dirección horizontal. Si es así, entonces la aceleración del centro de masa del sistema es distinta de cero en la dirección horizontal. Esto no debe ocurrir porque la fuerza neta sobre el sistema es puramente a lo largo de la dirección vertical. Por lo tanto, nuestra suposición inicial de que la cuña no acelera horizontalmente es errónea. Más bien se mueve en la dirección horizontal con cierta aceleración para cancelar el efecto de la aceleración del bloque en la dirección horizontal, haciendo que la aceleración neta del centro de masa sea cero en la dirección horizontal.

¿Cómo es posible que la gravedad -una fuerza descendente- pueda causar cierta aceleración en la dirección horizontal?

Esta es una buena pregunta. Pero como puedes ver, no hay ninguna aceleración neta del centro de masa del sistema en la dirección horizontal. Esta es precisamente la afirmación que nos obligó a concluir que la cuña debe moverse horizontalmente con una aceleración no nula. La aceleración horizontal de la cuña y la aceleración horizontal del bloque se suman para que la aceleración horizontal neta del centro de masa sea cero. La razón por la que las partes individuales obtienen alguna aceleración horizontal se debe a que hay fuerzas internas de reacción normal en el sistema que tienen una componente horizontal distinta de cero. Estas fuerzas internas hacen que las partes del sistema adquieran alguna aceleración horizontal. Pero no pueden proporcionar ninguna aceleración horizontal al centro de masa.

La respuesta calculadora

Supongamos que la fuerza de reacción normal entre la cuña y el bloque es $N$ . Supongamos que la aceleración horizontal de la cuña con respecto al suelo es $a$ hacia la izquierda. Si la cuña no va a acelerar, entonces obtendremos $a=0$ - ¡no te preocupes! Ahora, saltemos al marco de referencia unido a la cuña. Observa que este marco verá una pseudofuerza tanto en la cuña como en el bloque correspondiente a su aceleración $a$ .

Ecuaciones para la cuña

Con respecto a la cuña, la cuña está en equilibrio. Por lo tanto, $$N\sin\theta=Ma\tag{1}$$ Ignoraremos la ecuación de movimiento de la cuña en la dirección vertical. Sólo será útil para encontrar la fuerza de reacción normal entre el suelo y la cuña, lo que no es útil para el análisis del movimiento de la cuña y el bloque.

Ecuaciones para el bloque

Con respecto a la cuña, el bloque se mueve a lo largo de la superficie de la cuña y la propia cuña está en reposo en equilibrio. Por lo tanto, la ecuación de los movimientos son simplemente: $$mg\sin\theta+ma\cos\theta=mb \tag{2}$$ $$mg\cos\theta-ma\sin\theta=N \tag{3}$$

Donde $b$ es la aceleración del bloque a lo largo de la superficie de la cuña observada por ésta.

Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos $$a=\dfrac{g\sin2\theta}{2\bigg(\dfrac{M}{m}+\sin^2\theta\bigg)}\tag{4}$$ $$b=g\sin\theta\bigg(\dfrac{M+m}{M+m\sin^2\theta}\bigg)\tag{5}$$ $$N=\dfrac{g\cos\theta}{\bigg(\dfrac{1}{m}+\dfrac{\sin^2\theta}{M}\bigg)}\tag{6}$$

Como puede ver, su resultado $N=mg\cos\theta$ habría sido válida si la cuña no pudiera moverse, es decir, si $M\to\infty$

Answer 2

Las únicas fuerzas externas sobre el sistema (Cuña + Bloque) es $R + mg + Mg$ , donde $R$ es la reacción normal del suelo a la cuña. Estas tres fuerzas son todas de dirección vertical. Ahora, aunque pueda parecer que el sistema debería moverse sólo verticalmente debido a las fuerzas externas verticales, no es correcto porque las fuerzas internas como $N$ en su caso SÍ juega un papel en la determinación del movimiento de los cuerpos individuales porque $N$ es interno sólo para el sistema Cuña + bloque pero es externo para la cuña y el bloque individualmente. La 2ª ley de Newton aplicada a un sistema de varios cuerpos sólo indica la aceleración del centro de masa, no el movimiento interno de los cuerpos individuales. La cuña se mueve hacia la izquierda y el bloque hacia la derecha. Pero lo que hay que notar es que el centro de masa del sistema se mueve sólo verticalmente.

Si lo que preguntas es cómo se crean las fuerzas normales: Las fuerzas normales son fuerzas electromagnéticas aplicadas por los átomos/moléculas de una superficie de un cuerpo rígido a los átomos/moléculas de la otra superficie de otro cuerpo rígido, que están en contacto entre sí e intentan atravesarse. Por ejemplo, cuando nos sentamos en el suelo, la gravedad nos empuja hacia abajo, pero las moléculas del suelo empujan las moléculas de nuestro cuerpo para que no penetremos en el suelo y por eso el suelo se siente rígido. La fuerza de contacto normal es una fuerza de repulsión que actúa cuando los cuerpos rígidos intentan perforarse mutuamente.

En el caso de la cuña + el bloque, el bloque quiere moverse verticalmente hacia abajo, pero hay un obstáculo y es la cuña, que no le permitirá caer exactamente en forma vertical, de lo contrario atravesará la superficie de la cuña, por lo que cuando las moléculas del bloque se acercan a las moléculas de la cuña comienzan a repelerse entre sí y esta repulsión es una fuerza externa tanto para el bloque como para la cuña, por lo que también se mueven en dirección horizontal.

Ahora llegamos a la respuesta de por qué lo normal $N$ no es igual a $mgcos\theta$ porque si este fuera el caso entonces el bloque tendrá una fuerza neta sólo $mgsin\theta$ y así el bloque se moverá sólo en una dirección que esté inclinada en un ángulo $\theta$ con el suelo, pero ese no es el caso. El bloque se mueve en combinación de dos movimientos: Uno es el deslizamiento sobre la superficie del y otro es que el bloque se desplaza hacia la izquierda junto con la cuña para que quede en la superficie.

Ahora suponga N como variable y dibuje los FBD del bloque y suponga la aceleración de la cuña como $a_h$ a la izquierda y la aceleración del bloque como ( $a_h$ a la izquierda + $a_s$ a lo largo de la dirección de la superficie de la cuña que está inclinada a lo largo de una dirección $\theta $ del suelo). Para el bloque romper la aceleración correctamente en la dirección de paralelo y perpendicular al plano de la superficie de la cuña y el uso $F_{ext} = ma$ para ambos bloques en 2 direcciones perpendiculares una perpendicular a la superficie de la cuña y otra paralela a la superficie de la cuña y para la cuña en dirección horizontal.

El amarillo es $a_h cos\theta$ y el azul es $a_h sin\theta$