Matriz de transición regular Una matriz de transición $P$ se dice que es regular si alguna potencia de $P$ es positivo. Es decir, $P^n >0$ para algunos $n1$ .
Mi pregunta es: ¿Todas las matrices regulares tienen distribuciones límite? ¿Y todas las matrices con distribuciones límite implican que son regulares?
Como la cadena de Markov es regular, existe un $k$ tal que para todos los estados $i,j$ en el espacio de estado $P^k(i,j) > 0$ . Naturalmente, una cadena de Markov regular es entonces irreducible.
Ahora bien, como $P^k > 0$ para todos $i,j$ alors $P^{k+1}$ tiene entradas $$\pi_{ij}^{k+1} = \sum_t \pi_{it} \pi_{tj}^{k} > 0 \,, $$ ya que para al menos una $t$ , $\pi_{it} > 0$ . Esto significa que $P^{k+1}$ > 0 también, y así es $P^{k+2}, P^{k+3},...$
El gcd de $\{k, k+1, k+2, \dots\}$ es 1, por lo que una cadena de Markov regular también es aperiódica. Así, las cadenas de Markov regulares son irreducibles y aperiódicas, lo que implica que la cadena de Markov tiene una distribución límite única.
A la inversa, todas las matrices con una distribución límite no implican que sean regulares. Un contraejemplo es el ejemplo aquí donde la matriz de transición es triangular superior, y por tanto la matriz de transición para cada paso es triangular superior (y por tanto no regular), pero existe una distribución límite.
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