Consideremos la familia de funciones $f_n=e^{-x^{2n}}$ où $x$ es un número real. Me interesa la transformada de Fourier $\hat{f_n}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)e^{2\pi itx}dx$ . Aunque la expresión exacta para $\hat{f}_n$ sería difícil de obtener, excepto cuando $n=1$ ¿existen resultados que proporcionen el comportamiento asintótico de $\hat{f}_n(t)$ para cualquier $n$ (decir $n=2$ ), pero como $t\rightarrow \infty$ ? En particular, ¿se $\hat{f_n}(t)$ decaer como $e^{-t^{\alpha(n)}}$ para algunos $\alpha(n)>0$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Holographer
Puntos
1083
Esto puede resolverse mediante el análisis de descenso más pronunciado de la integral.
Para configurar las cosas, es conveniente cambiar primero las variables. Intercambiar $t$ para un nuevo parámetro $\lambda$ definido por $$ \lambda = \left(\frac{\pi t}{n}\right)^\frac{2n}{2n-1} \to \infty. $$ A continuación, cambie las variables de la integral por $z$ definido por $$ x = \lambda^\frac{1}{2n} z. $$ La integral de Fourier se convierte entonces en $$ \lambda^\frac{1}{2n} \int_{-\infty}^\infty e^{\lambda s(z)} \, dz, \qquad s(z)= 2i n z-z^{2n}. $$ Los puntos de ensillamiento son los puntos estacionarios $s'(z)=0$ de $s$ que se encuentra en el círculo unitario en los puntos $$ z = \exp\left(\frac{2k-\frac{3}{2}}{2n-1} i \pi\right),\qquad k=1,2,\ldots,2n-1. $$
Ahora bien, para averiguar cuál de estos puntos de la silla de montar es relevante, vale la pena hacer un diagrama $10^3$ palabras:
Este gráfico muestra (para $n=3$ ) la parte real de $s(z)$ con los puntos de la silla de montar marcados en negro. Los colores azules indican las regiones donde la parte real es más negativa. Las curvas rojas son contornos de la parte imaginaria constante de $s(z)$ Los caminos de descenso más pronunciados siguen estas curvas. Con esta imagen, puedes convencerte de que el contorno a lo largo del eje real debe deformarse para pasar por todos los puntos de la silla de montar en el semiplano superior, a saber $k=1,2,\ldots,n$ .
A continuación, debemos ver qué punto de la silla de montar es más importante, dando la mayor parte real de $s(z)$ . En los puntos de ensillamiento, tenemos $z^{2n-1}=i$ Así que $s(z)=(2n-1)iz$ La parte real más grande de $s(z)$ proviene de la parte imaginaria más pequeña de $z$ que es $k=1$ y $k=n$ .
Por último, ampliamos $s(z)$ de orden cuadrático en cada uno de estos dos puntos de silla, y hacer la integral de Gauss para obtener la asintótica de orden principal. Para $n>1$ obtenemos $$ \int_{-\infty}^\infty e^{\lambda s(z)} dz \sim 2\sqrt{\frac{\pi }{\lambda n (2 n-1)}} \Re\left[\exp \left(-i \frac{\pi}{2}\frac{(n-1)}{2n-1}+\lambda e^{\frac{i n \pi }{2 n-1}} (2 n-1)\right)\right]. $$ Esto es el doble de la parte real del $k=1$ silla de montar (con el $k=n$ silla de montar dando el complejo conjugado). Para $n=1$ El resultado es menor por un factor de dos, porque hay una única silla de montar (y obtenemos el resultado exacto).
Por tanto, la transformada de Fourier original decae como $\exp\left(-(2n-1)\sin\left(\frac{\pi}{2(2n-1)}\right)\lambda\right)$ , veces una rápida oscilación. En términos de la variable original $t$ Esto es $\exp\left(-\# t^\frac{2n}{2n-1}\right)$ .
