matriz idempotente sobre anillo local es similar a una matriz diagonal con elementos $0$ y $1$

Question

Quiero saber por qué cualquier matriz idempotente $P$ sobre el anillo local es similar a una matriz diagonal con elementos $0$ y $1$ .

Vi una prueba en lema 3.3 de ncatlab pero no entiendo por qué $P$ es similar a una matriz diagonal si tiene una matriz invertible $r$ -y por qué se puede elegir una matriz de este tipo con entradas $0$ y $1$ .

¿Podría alguien explicar más?

Answer 1

$\newcommand{\Set}[1]{\left\{ #1 \right\}}$ Dejemos que $V$ sea el módulo libre subyacente sobre el anillo local conmutativo $A$ con la unidad.

Consideremos los submódulos $$ V_{0} = \Set{ v \in V : P v = 0}, $$ y $$ V_{1} = \Set{ v \in V : P v = v}. $$ Claramente $V_{0} \cap V_{1} = \Set{0}$ .

Para $v \in V$ uno tiene $$ v = (v - P v) + P v, $$ donde

• $v - P v \in V_{0}$ , como $P (v - P v) = P v - P^{2} v = P v - P v = 0$ y
• $P v \in V_{1}$ , como $P (P v) = P^{2} V = P v$ .

Por lo tanto, $V = V_{0} \oplus V_{1}$ y $P$ es cero en $V_{0}$ y la identidad en $V_{1}$ .

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Apéndice El punto de $A$ ser local es que los sumandos directos $V_{0}, V_{1}$ también son gratuitos,