Demostrar que $A_1,B_1,C_1$ es colineal

Question

Dejemos que $ABC$ sea un triángulo inscrito dentro del círculo $(O)$ . M es un punto dentro del triángulo $ABC$ ( $M \notin BC,CA,AB$ )

$AM,BM,CM$ se encuentra con $(O)$ de nuevo en $A',B',C'$ respectivamente. La perpendicular media de $MA', MB', MC'$ conozca $BC,CA,AB$ en $A_1,B_1,C_1$ respectivamente.

1.Demostrar que $A_1,B_1,C_1$ es colineal

2. $M'$ es simétrica a M por $A_1B_1C_1$ . Demostrar que $M'\in (O)$

Por favor, dame alguna pista

Gracias

Answer 1

He aquí un enfoque vectorial.

Con el fin de invocar Teorema de Menelao escribimos $$A_1 = a B + (1-a) C \qquad B_1 = b C + (1-b) A \qquad C_1 = c A + (1-c) B$$ y esperamos mostrar $$\frac{a}{1-a} \cdot \frac{b}{1-b} \cdot \frac{c}{1-c} = -1 \qquad (*)$$

Dejemos que $A^{\prime\prime} = M + \frac{1}{2}\frac{|A^\prime M|}{|AM|}(M-A)$ sea el punto medio de $MA^\prime$ . Desde $\overrightarrow{A^{\prime\prime}A_1} \perp \overrightarrow{AM}$ tenemos $$( A_1 - A^{\prime\prime} )\cdot( M - A ) = 0$$ para que $$( \; a B + ( 1 - a ) C \; )\cdot( M - A ) = A^{\prime\prime}\cdot(M-A) = M\cdot(M-A) + \frac{1}{2}|AM||A^\prime M|$$ Así, $$a \; ( \; B - C \; )\cdot( M - A ) = ( M - C )\cdot(M-A) + \frac{1}{2}|AM||A^\prime M|$$ y $$-(1-a) \; (\; B - C \; )\cdot( M - A ) = ( M - B )\cdot( M - A ) + \frac{1}{2}|AM||A^\prime M|$$ de donde $$\frac{a}{1-a} = - \frac{2\;\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AM}+ |AM||A^\prime M|}{2\;\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}+|AM||A^\prime M|}$$

Ahora, recuerda el Teorema de la potencia de un punto que dice que $M$ divide las cuerdas que lo atraviesan en subsegmentos cuyas longitudes tienen un producto constante, denotado aquí como $p$ :

$$|AM||A^\prime M| = |BM||B^\prime M| = |CM||C^\prime M| = p$$

Esto garantiza que el lado izquierdo de $(*)$ se expande a un producto circular: $$ \left(- \frac{2\;\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AM}+ p}{2\;\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}+p}\right) \left(- \frac{2\;\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}+ p}{2\;\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM}+p}\right) \left( - \frac{2\;\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CM}+ p}{2\;\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AM}+p}\right) $$ que se reduce a $-1$ según Menelao, $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ son efectivamente colineales.

Por ahora, dejaré la prueba de que $M^\prime$ se encuentra en el círculo como tarea.