¿Cuál es la motivación detrás de un producto solución?

Question

Vamos a considerar la simple ecuación diferencial:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

Y vamos a suponer que tenemos algunas regular homogéneas las condiciones de contorno como:

$$ u(a, y) = 0$$ $$ u(L, y) = 0$$ $$ u'(x, y) = 0$$

(Acabo de hacer estas arriba en la parte superior de mi cabeza, así que siéntase libre para improvisar si ellos no trabajan con lo que usted quiere decir.)

Mi pregunta es: ¿Qué es la intuición y la motivación en la toma de un producto solución de la forma: $$\Psi = X(x)Y(y)$$ From what I understand, we also assume that the BCs apply to $\Psi$.

De lo que me han dicho, no hay ninguna prueba de esto, es simplemente un razonable juicio que parece funcionar bien en muchos de los casos.

Answer 1

Probablemente es imposible decir con certeza lo que trajo de Bernoulli y un poco más tarde (gracias @mkl314) Lagrange para considerar un producto de dos funciones como una solución de las ecuaciones de onda. Sin embargo, una buena conjetura sería: el conocimiento de que la ecuación de onda describe, además, las olas. D'Alambert en realidad ya tiene escrito su fórmula que proporciona una interpretación directa en términos de ondas progresivas, sin embargo, era bien sabido que a todos los grandes nombres que escribí anteriormente, que, teniendo en cuenta algunas condiciones en los límites, lo que se observa en un experimento es el de las ondas estacionarias (Bernoulli en su papel de 1753 da a los dibujos de su padre, que hizo un montón de experimentos considerando las olas). Y también era bien conocido que el simple analítica de la representación de las ondas estacionarias es $$ A(t)\cos (\omega x+\phi), $$ por lo tanto, una estimación para buscar una solución en la forma $$ T(t)X(x). $$ Y, por supuesto, la transformada de Fourier llegó más tarde a la afirmación de que cualquier función puede ser representada por la serie de Fourier para proveer un (nonrigorous en el tiempo) justificación del método de las ecuaciones lineales para los que la superposición principio sostiene.

Añadido: Ver aquí Bernoulli del papel con signos de "series de Fourier" y, especialmente, con las cifras de las ondas estacionarias.

Answer 2

Primero de todo, ¿qué entiende usted por el producto de las soluciones es generalmente llamado método de separación de variables.

No siempre es algo razonable para hacer lo que usted podría estar perdiendo una gran cantidad de soluciones.

Sin embargo ocurre que podría ser útil, especialmente si se obtiene una solución satisfactoria y que se puede demostrar que la solución es única. En el caso de que usted haya encontrado!

La idea detrás de esto es que no sabemos cómo resolver ecuaciones en derivadas parciales por lo que a través de una separación de variables, podemos transformar las ecuaciones en derivadas parciales en las Odas, en general, mucho más fácil trabajar con.

La ola de calor y las ecuaciones son buenos ejemplos que se utilizan junto con la serie de Fourier. Me podrían dar algunos enlaces si usted no ha visto todavía.

Answer 3

Con la selección adecuada de coordenadas, cualquier ecuación diferencial que es solucionable en las integrales (secuencialmente) separa. (Esta es la carne y las patatas de la Mentira de la simetría de las técnicas en la resolución de ecuaciones diferenciales.) Si su sistema tiene una gran cantidad de "obvio" que la simetría, a la separación de las variables correspondientes a la evidente simetría es una buena cosa para probar primero.

Los problemas en un cuadro? Intente $X(x,t)\cdot Y(y,t) \cdot Z(z,t)$.

Los problemas en un cilindro? Intente $R(r,t) \cdot \Theta(\theta,t) \cdot Z(z,t)$.

Et c...

Answer 4

No sé cómo demostrar que algo es razonable. Una simple respuesta podría ser: alguien que vinieron antes de nosotros, lo probé y funcionó, por lo que es razonable.

Tal vez usted está buscando un poco de motivación para intentar una solución del producto en lugar de un argumento de por qué es razonable? Si es así, yo diría que porque al $\Psi$ se vuelve a poner en el PDE, las derivadas parciales en a $\Psi$ a ser habitual derivados en cualquiera de las $X$ o $Y$. Y en esta etapa de aprendizaje de un estudiante, la solución de dos ecuaciones diferenciales ordinarias es más sencillo de abordar esta nueva criatura llamada PDE.

Answer 5

Este PDE versión de separación de variables, es una opción viable, cuando la ecuación es lineal, y la sustitución produce seperable resultados, y las condiciones de frontera son homogéneos.

Y en estas agradable de los casos, no hay ninguna razón por la que la solución no puede ser de esa forma.