Volumen de la parte (no necesariamente la mitad) del casquete esférico

Question

Tengo una esfera $(S)$ de radio $R$ : $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ .

Dos planos $(P)$ & $(Q)$ :

$(P): x = a$ y $(Q): y = b$

Estos dos planos cortan la esfera $(S)$ ¿Cuál es el volumen de la parte superior del casquete esférico (sombreado en amarillo) en términos de $R$ , $a$ y $b$

Si $(Q)$ tendría como ecuación $y = 0$ entonces el resultado es un casquete semiesférico, para ello sé calcula el volumen.

NB: Estoy familiarizado con la integralidad ¡Gracias por cualquier ayuda, saludos!

Answer 1

El volumen de una esfera se puede obtener por integración utilizando la método del disco . De la misma manera podemos derivar el volumen del "rincón de la esfera" que se busca, pero en lugar de utilizar discos completos (círculos), utilizamos segmentos circulares . En tu figura, imagina que cortas la esfera a la derecha de $x=a$ en rodajas finas. Cada rebanada sería un círculo y la parte del círculo que estuviera en la esquina de la esfera sería un segmento circular. Ahora pretendemos sumar estos segmentos integrando desde el inicio de la esquina ( $x=a$ ) hasta el final de la esquina ( $x=\sqrt{R^2-b^2}$ ).

En la figura siguiente he mostrado un segmento circular:

A partir del enlace anterior encontramos que el área de un segmento circular se puede expresar como $$A_{seg}=R_1^{2}*\cos^{-1}(\frac{r_1}{R_1})-r_1* \sqrt{R_1^2-r_1^2}$$

Convertimos esto a nuestra notación viendo que $r_1 = b$ y que $y=R_1$ , dando: $$A_{seg}=y^{2}*\cos^{-1}(\frac{b}{y})-b* \sqrt{y^2-b^2}$$

Comme $y=\sqrt{R^2-x^2}$ Ahora podemos escribir la integral que necesitamos: $$V=\int_{a}^{\sqrt{R^2-b^2}} \, (R^2-x^2)*\cos^{-1}(\frac{b}{\sqrt{R^2-x^2}})-b* \sqrt{(R^2-x^2)-b^2} \, dx$$

No es una integral bonita. Y cuando la introduzco en Wolfram-Alpha, se supera el límite de tiempo de cálculo. Sin embargo, Wolfram-Alpha puede proporcionar la versión indefinida de la integral, que es... eh... también no es bonito-b*sqrt(R%5E2-x%5E2-b%5E2)dx) . Pero, si tienes paciencia, puedes insertar los límites de la integral (es decir $x=a$ y $x= \sqrt{R^2-b^2}$ ) en el resultado de Wolfram y ya tienes la respuesta.

EDITAR

He notado un pequeño problema. Cuando $x=\sqrt{R^2-b^2}$ obtenemos divisiones por cero en el resultado de Wolfram. Como consecuencia, he decidido escribir el resultado completo de Wolfram, aunque con simplificaciones que Wolfram no ha hecho. Aquí está: $$\int \, (R^2-x^2)*\cos^{-1}(\frac{b}{\sqrt{R^2-x^2}})-b* \sqrt{(R^2-x^2)-b^2} \, dx = \\ -\frac{2}{3}bx \sqrt{-b^2+R^2-x^2}+ \frac{1}{3}b(3R^2-b^2)\tan^{-1}(\frac{-x}{\sqrt{-b^2+R^2-x^2}})+ \\ \frac{2}{3}R^{3}\tan^{-1}(\frac{bx}{R \sqrt{-b^2+R^2-x^2}})- \frac{1}{3}x(x^2-3R^2)\cos^{-1}(\frac{b}{\sqrt{R^2-x^2}})$$

Eso llevó media hora. De todos modos, si uno mira dónde se produce la división con el cero, es en el $tan^{-1}$ partes. Si se analizan estas partes, se encuentra por primera vez que $tan^{-1}=>-\frac{\pi}{2}$ como $x=>\sqrt{R^2-b^2}$ y para el segundo caso que $\tan^{-1}=>\frac{\pi}{2}$ como $x=>\sqrt{R^2-b^2}$ . Por lo tanto, la ecuación anterior se puede utilizar para obtener el volumen V en función de a y b, siempre que, por supuesto, $a^2+b^2 \lt R^2$ .