Dejemos que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser continua. Supongamos que $f’(x)$ existe para todos los $x \neq 0$ y $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$ . Demostrar que $f’(0)$ existe y $f’(0) = 1$
Mi intento: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$
No creo que el intercambio de límites que he hecho sea correcto. Puede alguien ayudarme con la forma de hacerlo.
Creo que el post que Martin R enlazó dice algo parecido, pero esto es una aplicación estándar del MVT: Fix $h>0$ y considerar $\frac{f(h) - f(0)}{h}$ entonces por el teorema del valor medio se puede encontrar un punto $a \in (0,h)$ tal que $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$ . Ahora toma $h \to 0$ . ¿Qué pasa con $a$ ? Tenga en cuenta que $a$ depende de $h$ .
Además, intercambiar límites no es una buena idea, a menos que se apele a un teorema/resultado específico que permita hacerlo. En general, ni siquiera los límites "fáciles" pueden cambiarse.
Cuando me preguntas qué le pasa a $a$ ( continuidad si $f’$ ) ¿estás sugiriendo que $f’$ ¿es continua? Porque eso no se dice en la pregunta.
Oh, culpa mía, no lo había leído. No necesitas continuidad. He editado mi respuesta es casi la misma. La idea es que como $h \to 0$ , $a \to 0$ por lo que el RHS pasa a $1$ y por lo tanto el LHS va a $1$ (y existe).
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¿Está seguro de que es cierto? Considere $f(x) = |x| + 1$ entonces $f'(x)$ existe para todos $x \to 0$ y $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ pero $f$ no es diferenciable en $0$ .
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@EeveeTrainer realmente lo siento, que era un error tipográfico, he añadido una edición
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¿Responde esto a su pregunta? Demostrar que $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$ .
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Otra: math.stackexchange.com/q/53065/42969 .
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También esto: math.stackexchange.com/q/1118564/42969
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@MartinR Lo estoy comprobando, muchas gracias por esto.
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X^2+1 es una función tal que f(0)=1 Bit f'(0)=0. tu Afirmación es errónea
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@miracle173 en este $\lim_{\x\to 0} f’ \neq 1$
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@user601297. gracias. Leí mal tu pregunta