Forma sistemática de obtener leyes de conservación en sistemas dinámicos

Question

Motivación

Consideremos una partícula puntual de masa $m$ entrando en casa $\mathbb{R}^3$ bajo la influencia de algún campo de fuerza $\vec{F}(\vec{r},t)$ . La ecuación fundamental que rige la dinámica de este sistema es la segunda ley de Newton, que establece $$\boxed{\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}}$$ donde $\vec{p} = m \vec{v}$ es el momento (lineal) de la partícula. Este es también un ejemplo de ley de conservación. Afirma que una partícula libre, es decir, una partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza, se mueve de forma que su momento (lineal) se conserva $$\vec{F} = \vec{0} \quad \iff \quad \vec{p} = constant.$$ En esta pregunta, me interesa una forma sistemática de construir todas esas cantidades conservadas.

Mi enfoque

Mi enfoque, en pocas palabras, consiste en multiplicar la ley de Newton por varias cantidades y, tras algunas manipulaciones, reconocer que algunas cantidades son constantes cuando $\vec{F} = \vec{0}.$ A continuación, enumeraré algunos ejemplos.

1. Producto de puntos $\vec{v} \cdot \vec{F}$ conduce a la conservación de la energía cinética $T = \frac{1}{2}m \vec{v}^2$ . Tenemos $$\boxed{\vec{v} \cdot \vec{F} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}m \vec{v}^2 \right)}$$ para que $$\vec{F} = \vec{0} \quad \iff \quad T = constant.$$
2. Producto cruzado $\vec{v} \times \vec{F}$ aparentemente no conduce a ninguna ley de conservación porque trivialmente tenemos $$\boxed{\vec{v} \times \vec{F} = m \vec{v} \times \vec{a}}$$ y el lado derecho no puede escribirse como una derivada temporal. Por lo tanto, parece que $\vec{v} \times \vec{F}$ no es una cantidad útil. (Podría estar equivocado en esto, así que por favor corríjanme).
3. Producto de puntos $\vec{r} \cdot \vec{F}$ no conduce a una ley de conservación debido a un término extra en el RHS, $$\boxed{\vec{r} \cdot \vec{F} = \frac{d}{d t}(\vec{r} \cdot \vec{p})+2T}$$ Sin embargo, esta ecuación es el punto de partida en la derivación del teorema de Virial, por lo que no es totalmente inútil.
4. Producto cruzado $\vec{r} \times \vec{F}$ conduce a la conservación del momento angular $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ porque $$\boxed{\vec{r} \times \vec{F} = \frac{d}{d t} (m \vec{r} \times \vec{v})}$$ para que $$\vec{F} = \vec{0} \quad \iff \quad \vec{L} = constant.$$
5. La multiplicación con el tiempo conduce a la conservación del movimiento del centro de masa, $$\boxed{t \vec{F} = \frac{d}{dt} (t \vec{p} - m \vec{r})}$$ para que $$\vec{F} = \vec{0} \quad \iff \quad t \vec{p} - m \vec{r} = constant.$$

La pregunta

En mi enfoque, he podido reproducir las 10 integrales de movimiento bien conocidas simplemente por conjeturas. Sin embargo, no tengo ninguna garantía de que no haya más integrales de movimiento. Entonces, ¿existe una forma sistemática de encontrar todas las integrales de movimiento para un sistema dinámico dado?

Answer 1

En primer lugar, lea sobre Teorema de Noether y especialmente las formulaciones hamiltonianas y de Poisson de la misma para ponerse al día con las herramientas modernas. En pocas palabras, las simetrías y las integrales de movimiento existen en una correspondencia de 1 a 1, aunque las cosas se ponen peliagudas cuando hay dependencia, en cuyo caso se eligen subgrupos de isotropía de las simetrías. Personalmente he encontrado que identificar las simetrías y luego usar el teorema de Noether para encontrar las integrales de movimiento es la estrategia más fácil en lugar de buscar directamente las integrales mismas.

Que yo sepa, no hay ningún método conocido para determinar el número total de integrales de movimiento o simetrías que puede poseer un sistema dado. Esto se debe a que las integrales de movimiento y las simetrías son características del comportamiento global del sistema, no sólo del comportamiento local. Para encontrar o garantizar de algún modo la existencia de simetrías e integrales de movimiento, habría que conocer también todo el comportamiento global, lo cual es imposible en multitud de ejemplos.

Sus ejemplos son más o menos un enfoque de adivinar y comprobar, que es de hecho uno de los mejores métodos disponibles para este tipo de trabajo. Este es un enfoque numérico que podría encontrar como respuesta satisfactoria. El cálculo de variaciones y el control óptimo son sólo generalizaciones de la mecánica a la que estás acostumbrado. He usado esta técnica antes y he tenido resultados mixtos, como que encontrará 1 de 3 simetrías e integrales de movimiento que ya sé que existen. El hecho de que exista un procedimiento numérico de este tipo te indica que se trata de un problema difícil sin respuesta general conocida, y el hecho de que el procedimiento numérico sólo funcione más o menos te indica que se trata de un área en la que hay que investigar más.

Edición: También debo mencionar que las simetrías no son lo mismo que las simetrías infinitesimales. Si tuviera que especular que existe un proceso para determinar todas las simetrías que puede poseer un sistema, se haría a nivel de las simetrías infinitesimales, que son un álgebra de Lie de campos vectoriales. Entonces Mentira III identificaría el grupo completo de simetrías. Esto es pura especulación por mi parte y no tengo pruebas que lo respalden.