¿Cómo se resuelve este problema de valores propios?

Question

Dejemos que $L: P_1 \to P_1$ sea el operador lineal definido por $L(at+b)=-bt-a$ . Encuentre, si es posible, una base para $P_1$ con respecto a la cual $L$ está representada por una matriz diagonal.

¿Qué te parece esto?

Answer 1

El espacio vectorial $P_1$ es el conjunto de polinomios de grado máximo $1$ y por lo tanto hay un isomorfismo natural $T: P_1 \to \mathbb R^2$ dado por $T(at+b) = (a,b)$ . Ahora se puede llegar fácilmente a una matriz para $L$ con respecto a la base estándar de $\mathbb R^2$ y diagonalizar como de costumbre, encontrando los valores y vectores propios.

Answer 2

Denota por $L_0$ el operador en $P_1$ definido por

$L_0(at + b) = bt + a; \tag{1}$

entonces

$L = -L_0. \tag{2}$

El operador $L_0$ ha sido analizado en profundidad en mi respuesta a la pregunta https://math.stackexchange.com/questions/1211802/how-to-solve-this-eigenvalue-eigenvector-problem donde se demuestra que los valores propios de $L_0$ son $\pm 1$ con vectores propios $1 + t$ (para el valor propio $1$ ) y $1 - t$ (para $1$ ). Ahora usamos el hecho de que los valores propios del negativo de cualquier operador $T$ son los negativos de los valores propios de $T$ con los mismos vectores propios: si

$Tv = \mu v, \tag{3}$

entonces

$(-T)v = -Tv = -(\mu v) = (-\mu) v. \tag{4}$

Por lo tanto, se deduce que los valores propios de $L$ también son $\pm 1$ con los mismos vectores propios; sin embargo, sus papeles se invierten: aquí el vector propio asociado a $1$ no es $1+ t$ pero $1 - t$ :

$L(1 - t) = -t + 1 = 1 - t; \tag{5}$

igualmente $-1$ corresponde a $1 + t$ :

$L(1 + t) = -t - 1 = -(1 + t). \tag{6}$

De hecho, lo anterior demuestra que el operador $L$ es diagonal en la base $\{ 1 + t, 1 - t \}$ de $P_1$ .

Diagonalizar un operador implica invariablemente encontrar sus vectores propios, lo que a su vez requiere calcular sus vectores propios. En este caso, los valores propios se encontraron resolviendo la ecuación característica de $L_0$ y los valores propios asociados por simple inspección (adivinación inteligente). En ejemplos más complicados, los vectores suelen encontrarse resolviendo un sistema lineal. De cualquier manera, la base propia se diagonaliza (cuando, es decir, la diagonalización es posible).