Teorema de Skolem-Lowenheim.

Question

Demostrar que la clase de todas las estructuras que son estructuras isomorfas de la forma $\mathbb{A}=\langle\mathcal{P}(A),\cup^{\mathbb{A}},\cap^{\mathbb{A}},\subseteq^{\mathbb{A}}\rangle, $ no es axiomatizable. $$\mathbb{A}=\langle\mathcal{P}(A),\cup^{\mathbb{A}},\cap^{\mathbb{A}},\subseteq^{\mathbb{A}}\rangle$$ deben entenderse como operaciones "normales" en el plató.

Se puede demostrar mediante el teorema de Lowenheim-Skolem. Si existiera un conjunto de este tipo $S$ el $|\mathcal{P}(S)| = \aleph_0$ entonces el teorema de Lowenheim-Skolem no se aplicaría aquí, ¿verdad?

Answer 1

Sí, así es.

Con un poco más de detalle: según Lowenheim-Skolem, tendríamos que tener un modelo contablemente infinito de esa teoría. Pero entonces el conjunto subyacente de ese modelo, $M$ tendría la misma cardinalidad que algún conjunto de potencias, es decir, para algún $B$ tendríamos $\vert M\vert=\vert\mathcal{P}(B)\vert$ .

Pero entonces $B$ debe tener una cardinalidad estrictamente menor que la de $M$ . ¿Qué conjuntos tienen una cardinalidad menor que $\aleph_0$ ? ¡Los finitos! Así que $B$ es finito. Pero entonces $M$ es finito también, contradicción.