¿Es mi prueba que la intersección de cualquier familia de topologías sobre un conjunto $X$ es una topología en $X$ ¿correcto?
Prueba. Tenemos que demostrar que la intersección satisface los axiomas de topología. Sea $\tau$ sea una intersección arbitraria de topologías en $X$ .
- $\emptyset$ y $X$ están en todas las topologías por lo que están en $\tau$
- Dejemos que $U=\bigcup_{i\in I} A_i$ sea una unión arbitraria de elementos de la intersección $\tau$ . $U$ es abierto en toda topología (porque $A_i$ está en $\tau$ para todos $i\in I$ ) para que esté abierto en $\tau$
- Dejemos que $V=A_1\cap\dots\cap A_n$ sea una intersección finita de elementos de la intersección. $V$ es abierto en toda topología (porque $A_i$ está en $\tau$ para todos $i\in[1,n]$ ) para que esté abierto en $\tau$
Además, $\tau\subseteq\tau_j$ para cada topología $\tau_j$ en la familia de la intersección, por lo que es más gruesa que todas ellas.
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Yo incluiría un poco más de detalle para la 2 y la 3. Por ejemplo, "Cada $A_i$ es abierta en toda topología, por lo que $\bigcup A_i$ es abierto en toda topología; por lo tanto $\bigcup A_i$ está abierto en $\tau$ ."
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Normalmente, la definición de topología postula sólo el caso $n=2$ en 3. A veces esto simplifica ligeramente los argumentos.