Consecuencias Geométrico de Langlands

Question

Así, muchas de las personas que trabajan en el Geométrica Langlands Conjetura, y ha habido un par de preguntas alrededor de aquí (hay que admitir que varias de ellas la mía). Así que aquí es de otro, tagged wiki de la comunidad, porque realmente no hay una respuesta "correcta": ¿qué GLC implica? Muchas de las grandes conjeturas tienen consecuencias bien conocidas (Hipótesis de Riemann y la distribución de los números primos) pero, ¿qué acerca de la GLC? Hay cosas buenas que se sabe a seguir a partir de esta equivalencia de categorías derivadas?

EDIT: La Geométrica Langlands Conjetura dice lo siguiente: Vamos a $C$ ser una curva algebraica (cualquier campo, pero yo creo que la formulación sé que sólo es bueno en el carácter 0), $G$ un reductora algebraica de grupo, $^L G$ su Langlands dual (los caracteres de G son cocharacters de $^L G$, si recuerdo correctamente). Entonces existe un natural de equivalencia de categorías a partir de la derivada de la categoría coherente de las poleas en la pila de $G$-sistemas locales para la derivada de la categoría coherente de $\mathcal{D}$-módulos en los módulos de la pila de principal $^L G$-paquetes, tal que la estructura de la gavilla de un punto es enviado a un Hecke Eigensheaf (y no voy a sentarme y definir que en la parte superior de el resto aquí...la idea es que $G$-sistemas locales en la curva son equivalentes a eigensheaves para algunos de la colección de los operadores, pero en realidad lo que es preciso y con una esperanza de ser cierto obtiene técnica)

Edit 2: Este documento se afirma una versión de la conjetura (por $GL(n)$) como 1.3, después de la definición de los operadores de Hecke.

Answer 1

OK, esta es una pregunta muy amplia así que voy a ser telegráfico. Hay una secuencia de cada vez más detallado de las conjeturas que va por el nombre de GL-es realmente un "programa" (análisis armónico de $\mathcal{D}$-módulos en los módulos de paquetes) en lugar de una conjetura -- y sólo el primero de esta secuencia ha sido demostrado (y sólo por $GL_n$), pero no quiero meterme en esto.

Hay varios tipos de razones es posible que desee para el estudio geométrico de Langlands:

1. las consecuencias directas. Una aplicación es Gaitsgory la prueba de de Jong a la conjetura (arXiv:matemáticas/0402184). Si usted demostrar la ramificado geométricas Langlands por $GL_n$, va a recuperar L. Lafforgue (Langlands para la función de campos), que tiene un montón de consecuencias (enumeradas por ejemplo creo que en su Campos de descripción de medalla), que no voy a enumerar. (bueno, realmente tendría que probar "bien" para obtener el motivic consecuencias..) De hecho, usted va a recuperar mucho más (como la independencia de $l$ resultados). Para mí, sin embargo este es el menos convincente de motivación..

2. Motivación Original: por la comprensión de la función de campo de la versión de Langlands usted puede esperar para aprender mucho sobre el programa de Langlands, trabajando de una forma mucho más fácil la creación, donde usted tiene la oportunidad de ir mucho más allá. En particular, el GLP (la versión de más de $\mathbb{C}$) tiene MUCHA más estructura que el programa de Langlands-es decir que las cosas están MUCHO mejor, hay mucho más fuerte y más limpio resultados que podemos esperar para probar, y la esperanza de usar esto para profundizar en los patrones subyacentes.

Por mucho, el mayor ejemplo de esto es la Ong de la prueba de la Fundamental Lexema --- no usar GLP per se, sino más bien la geometría de la Hitchin sistema, que es uno de los principales geométricas ingredientes descubierto por el GLP. A mí esto ya hace que todo el esfuerzo vale la pena..

1. Relaciones con la física. Una vez que esté de más de $\mathbb{C}$, (por lo que me refiero Beilinson-Drinfeld y Kapustin-Witten) descubre un montón de profundas relaciones con (al menos aparentemente) diferentes problemas en la física.

una. La primera es la teoría de la integración de sistemas, muchos clásica de la integración de los sistemas de ajuste en el Hitchin marco del sistema, y geométricas Langlands le da una herramienta muy poderosa para el estudio de la correspondiente cuántica de sistemas integrables. De hecho, usted (es decir, BD) puede motivar a todo el GLP como una manera de resolver una colección cuántica de sistemas integrables. Esto tiene muchas aplicaciones en el tema (por ejemplo, véase Frenkel opiniones sobre el Gaudin sistema, papeles en Calogero-Moser sistemas, etc).

b. La segunda es la teoría conforme de campos (de nuevo BD) --- se desarrollan CFT (conformal, no de clase, la teoría del campo!) muy lejos de alcanzar la meta de la comprensión de GLP, que conduce a una visión profunda en ambas direcciones (y una estrategia ahora por Gaitsgory-Lurie para resolver de la forma más fuerte de GLP).

c. La tercera es que las cuatro dimensiones de la teoría de gauge (KW). Para mí la mejor manera de motivar geométricas Langlands es como un aspecto de la eléctrico-magnético, la dualidad en 4d SUSY teoría de gauge. Este lazos en GLP a muchos de los mejores temas actuales en la teoría de cuerdas/teoría de gauge (incluyendo Dijkgraaf-Vafa teoría, en la pared de cruce/Donaldson-Thomas teoría, el estudio de M5 branes, yadda yadda yadda)...

1. Finalmente GLP está profundamente ligado a una serie de preguntas en teoría de la representación, de bucle de álgebras, los grupos cuánticos, algebraica de los grupos de más finito campos etc. El increíble trabajo de Bezrukavnikov demostrando un host de fundamental conjeturas de Lusztig se basa en GLP ideas (y puede ser considerado como parte de los locales GLP). (mi investigación personal del programa con Nadler es el uso de las mismas ideas a entender representantes de la real semisimple Mentira grupos). Este tipo de motivación es el secreto detrás de gran parte de la obra de BD --- el punto de partida de todo esto es la Beilinson-Bernstein descripción de representantes de $\mathcal{D}$-módulos.

Hay más, pero esto ya se está convirtiendo en una entrada del blog, así que debería parar.