Divisibilidad y subgrupos Sylow p

Question

Dejemos que $p$ sea un primo. Supongamos que $N$ es un subgrupo normal de un grupo finito $G$ . Si $n_{p,G}$ es el número de Sylow $p$ -subgrupos de $G$ y $n_{p,N}$ es el número de Sylow $p$ -subgrupos de $N$ entonces $n_{p,N}$ divide $n_{p,G}$ .

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Llevo un tiempo trabajando en este problema. He demostrado que si $P_G \in Syl_p(G)$ es decir, $P_G$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ entonces $P_G \cap N \in Syl_p(N)$ y que si $P_N \in Syl_p(N)$ entonces $P_N = P_G \cap N$ para algunos $P_G \in Syl_p(G)$ . En conclusión, existe una función suryectiva $f:Syl_p(G) \to Syl_p(N)$ definido por $f(P) := P \cap N$ . Por lo tanto, $n_{p,N} \leq n_{p,G}$ .

Sin embargo, no puedo demostrar la relación de divisibilidad.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Si conjugamos a $p$ -Silow subgrupo de $N$ por un elemento de $G$ , obtenemos otro $p$ -subgrupo Sylow de $N$ , ya que $N$ es normal. Si $I_G$ es el grupo de elementos de $G$ que arreglan el $p$ -Los grupos sb de $G$ y $I_N$ es el grupo de elementos que fijan el $p$ -subgrupos bajos de $N$ entonces como la restricción de un subgrupo Sylow de $G$ es un sugrupo de Sylow de $N$ obtenemos un homomorfismo suryente $G/I_G \to G/I_N$ . Como todos los subgrupos de Sylow son conjugados, el resultado se desprende del teorema del estabilizador orbital.