Calcular una función con el uso de un punto de desarrollo y series geométricas

Question

Suponiendo que tenga esta función : $$ f(x) = \frac{1 + x^3}{2-x} $$

La cuestión era calcular esto con el uso de la serie geométrica y el punto de desarrollo $x_{0} = 0$ .

Bueno fijando primero la función a una serie geométrica es bastante claro aquí . Tengo $ f(x)=$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{2^{n+1}}(1+x^3) $ como resultado . ¿Qué significa aquí calcular una serie infinita? Por calcular significa que puedo elegir calcular los primeros términos de la serie (Por ejemplo de n=0 a n=3 y luego $ '+\ldots '$ ) ?

Además, ¿por qué tengo que utilizar el punto de desarrollo $x_{0}$ . Ya puedo calcular la función con la serie geométrica solamente. ¿No será suficiente o hay otra idea para implementar esto?

Answer 1

Buscamos una representación \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\tag{1} \end{align*} donde la expansión de la serie es en el punto $x_0=0$ .

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{f(x)}&\color{blue}{=\frac{1+x^3}{2-x}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1+x^3}{1-\frac{1}{2}x}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n}}x^n(1+x^3)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}}x^n+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}}x^{n+3}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}}x^n+\sum_{n=3}^\infty\frac{1}{2^{n-2}}x^{n}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x^2+\sum_{n=3}^\infty\frac{9}{2^{n+1}}x^n} \end{align*} siendo la última línea una representación según (1).