Soporte de una medida de Borel en subespacios topológicos abiertos o cerrados

Question

Dejemos que $(X, \tau)$ sea un espacio metrizable y $\mathcal{B}(\tau)$ el Borel $\sigma$ -generado por los conjuntos abiertos en $\tau$ . Sea $\mu$ sea una medida de probabilidad sobre $\mathcal{B}(\tau)$ . Entonces, su apoyo, digamos $\text{supp}(\mu)$ se define como el conjunto cerrado más pequeño $C$ tal que $\mu(C)=1$ . Si $(X, \tau)$ es separable, entonces el soporte existe.

Supongamos ahora que $(X,\tau)$ es un espacio polaco metrizable. Consideremos un subconjunto abierto $S \subset X$ y dotémosla de la topología métrica relativa, $\tau_S$ . Claramente, $(X, \tau_S)$ sigue siendo separable y una medida de probabilidad $\mu'$ en $\mathcal{B}(\tau_S)$ admite un soporte. Considerando el cierre $\bar{S}$ del conjunto $S$ también podemos dotarlo de una topología relativa $\tau_{\bar{S}}$ y observar que $(\bar{S}, \tau_{\bar{S}})$ sigue siendo polaco. Una medida $\mu''$ en el Borel $\sigma$ -campo $\mathcal{B}(\tau_{\bar{S}})$ admite un soporte una vez más, pero: ¿tiene el soporte en este caso algunas propiedades mejores que en el caso de $\mu'$ ? ¿Cuál es el efecto de añadir la completitud en las propiedades del soporte de una medida de probabilidad?

Más concretamente: en el caso de $\bar{S}$ El apoyo de $\mu''$ puede definirse de forma equivalente como el conjunto de elementos del subespacio para el que toda vecindad abierta (con respecto a la topología relativa) tiene probabilidad positiva. ¿Es una definición equivalente también válida para $S$ y $\mu'$ ?

Answer 1

La exhaustividad no tiene nada que ver. La equivalencia de tu último párrafo es válida en cualquier espacio topológico siempre que el soporte exista. En particular, es válida en cualquier espacio metrizable separable, como $(S, \tau_S)$ para cualquier subconjunto $S \subset X$ lo que sea.

En efecto, dejemos que $Y$ sea un espacio topológico cualquiera, $\mu$ una medida de probabilidad de Borel, y asumir que el soporte de $\mu$ existe; llámalo $E$ . Supongamos que toda vecindad abierta de $y \in Y$ tiene una medida positiva. Entonces, si $F$ es cualquier conjunto cerrado que no contenga $y$ tenemos que $F^c$ es una vecindad abierta de $y$ Por lo tanto $\mu(F^c) > 0$ y así $\mu(F) < 1$ . Por lo tanto, $F \ne E$ . Concluimos $y \in E$ .

Por el contrario, supongamos que $y \in E$ y que $U$ sea cualquier vecindad abierta de $y$ . Entonces $E \setminus U$ es un subconjunto cerrado adecuado de $E$ ya que $E$ es por definición el conjunto cerrado más pequeño de medida $1$ Debemos tener $\mu(E \setminus U) < 1$ . Por lo tanto, $\mu(U) > 0$ .

Por otro lado, cuando su conjunto $S$ está abierto, entonces $(S, \tau_S)$ es realmente polaco - de hecho, un subconjunto de un espacio polaco es completamente metrizable si es $G_\delta$ . Véase el teorema 3.11 de Kechris, Teoría descriptiva clásica de conjuntos . Sin embargo, como se ha señalado anteriormente, no necesitamos eso aquí.