Contraejemplo de funciones acotadas

Question

${f_n}$ es una secuencia de funciones continuas sobre R, y $f_n$ converge a f uniformemente en R. Si cada una de las funciones $f_n$ está acotada, demuestre que esto no implica que f esté acotada.

Por favor, ayuda con el contraejemplo - no entiendo cómo resolver esto.

EDIT: ¿Y si f fuera en cambio convergente en cada intervalo finito [a,b] en lugar de en R? ¿Cómo cambia esto el resultado del problema? Estoy confundido sobre cómo encontrar una "laguna" en este caso.

Answer 1

Si la secuencia es uniformemente convergente entonces podemos encontrar alguna $n$ tal que $|f(t)-f_n(t)| < 1 $ para todos $t$ . Desde $f_n$ está limitada por, digamos, $B$ , entonces debemos tener $f$ estar limitado por $B+1$ .

Esto no tiene nada que ver con la continuidad, sólo con la convergencia uniforme y la acotación.