¿Cómo puedo demostrar que los ángulos exteriores de un pentágono suman cuatro ángulos rectos?

Question

¿Cómo puedo demostrar que los ángulos exteriores de un pentágono suman cuatro ángulos rectos?

He pensado en dividir el pentágono en 3 triángulos, y luego tal vez usar la suma de ángulos exteriores igual a dos ángulos interiores del triángulo. Pero no logro encontrar una demostración formal.

Answer 1

(Lo siguiente no es tan elemental como las otras respuestas, pero pone la afirmación dada en una perspectiva mayor.)

Usando las convenciones de signo adecuadas, la afirmación es verdadera incluso si el pentágono no es convexo, pero aún sin autointersecciones. El teorema de Umlaufsatz de Hopf (lo siento, no hay un nombre oficial en inglés para este teorema) dice lo siguiente:

Teorema. La curvatura total de una curva de Jordan suave $\gamma$ en el plano es $\pm 2\pi$.

En el caso de un polígono, la curvatura se concentra en los vértices, y la curvatura total es la suma de los ángulos de giro del vector tangente en los vértices, o $a+b+c+d+e$ en tu figura.

Answer 2

Al dividir un $n$-gono convexo en $n-2$ triángulos, se puede ver que los ángulos interiores suman $(n-2)\times 180^\circ$. Ahora los ángulos interiores y exteriores suman $n\times 180^\circ$, por lo que los ángulos exteriores suman $360^\circ$.

Answer 3

Agrega $2$ segmentos más en el dibujo para obtener triángulos en su interior, y utiliza que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de $180^\circ$, al igual que los ángulos que completan un lado de una línea.

Answer 4

Los ángulos interiores de un pentágono suman $540$ grados porque se puede dividir un pentágono en tres triángulos. La suma de los cinco ángulos interiores y cinco ángulos exteriores es obviamente $5*180=900$ grados porque la suma del ángulo interior y el ángulo exterior que corresponde a ese ángulo interior es de $180$ grados. Ahora la suma de los ángulos exteriores es $900-540=360=4*90$ y eso es lo que has preguntado.