¿Cómo encuentro la derivada de una integral?

Question

$$g(x) = \int_{x^2 + 11}^{3} \frac{dt}{t} $$

No estoy seguro de cómo enfocar esto, ¿tomo la antiderivada y luego restar el límite inferior del límite superior enchufado a la antiderivada?

Creo que tal vez sea así:

$$f(3) - f(x^2 +11) = (3^2)/2 - (x^2 + 11)^2 /2$$

EDIT: Yo también hice mal el anti derivado

Answer 1

Esto se deduce del Teorema Fundamental del Cálculo. Algo que ayuda a resolver este tipo de problemas sería dejar que la antiderivada de $1/t$ sea $G(x)$ . Por lo tanto:

$g(x) = G(3) - G(x^{2} + 11)$

Si queremos diferenciar la expresión (la derivada de la antiderivada será la propia función):

$g'(x) = -\displaystyle\frac{2x}{x^{2} + 11}$

Este resultado se desprende de la regla de la cadena, ya que $G'(f(x)) = g(f(x))f'(x)$ , donde $G(x)$ es la antiderivada de $g(x)$ . Esto suele ser útil si tenemos una función más complicada que integrar como $e^{-x^{2}}$ y así sucesivamente.