Invariantes topológicas de grupo

Question

Dejemos que $\mathbf{Grp}$ sea la categoría de grupos y $\mathbf{Top}$ sea la categoría de espacios topológicos. A cada grupo $(G, \circ_G)$ podemos asociar un espacio topológico $(G,\tau_G)$ la base de esta topología está dada por el conjunto de todos los subgrupos de $G$ . Llama a esta topología en $G$ para ser su Topología de subgrupos Así obtenemos un functor $\mathscr{F}:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Top}$ que asocia un grupo determinado a su. También hay que tener en cuenta que cualquier homomorfismo $f:(G,\circ_G)\to (H,\circ_H)$ induce una función continua entre los correspondientes Espacios topológicos de subgrupos .

Este proceso parece una especie de "proceso inverso" a lo que hacemos en Topología Algebraica especialmente cuando intentamos asociar el Grupo Fundamental a un espacio topológico dado. En la topología algebraica en general, estamos tratando de encontrar invariantes algebraicas de un espacio topológico dado mientras que aquí estoy tratando de encontrar invariantes topológicas para un grupo.

Sin embargo, está claro que el functor que he definido arriba es sólo un ejemplo de un functor de $\mathbf{Grp}$ a $\mathbf{Top}$ y (creo) no va a ser muy útil.

Así que mi pregunta es,

¿Existe algún invariante topológico útil de un grupo? Más concretamente, dado un grupo cualquiera, ¿podemos asociarle un espacio topológico (de la misma manera que hicimos con los Grupos Fundamentales)? Si es así, ¿se puede mencionar alguna bibliografía?

Answer 1

Para cualquier grupo de Lie $G$ existe un invariante topológico de los grupos $\Gamma$ llamado el $G$ -característica variedad de $\Gamma$ . Se define por: $$\mathfrak{X}_G(\Gamma):=\mathrm{Hom}(\Gamma,G)^*/G,$$ donde $\Gamma$ se da la topología discreta, $\mathrm{Hom}(\Gamma, G)$ la topología compacta-abierta, $\mathrm{Hom}(\Gamma, G)^*$ es el subespacio de los homomorfismos que tienen órbitas de conjugación cerradas ( poliestable ), y finalmente $\mathrm{Hom}(\Gamma,G)^*/G$ es el espacio orbital de conjugación de $\mathrm{Hom}(\Gamma, G)^*$ .

Si $\varphi:\Gamma^\prime\to \Gamma$ es un isomorfismo, entonces para cada poliestable $\rho:\Gamma\to G$ entonces $\rho\circ \varphi$ es poliestable y por tanto define un punto $[\rho\circ \varphi]\in \mathfrak{X}_G(\Gamma^\prime)$ . Este mapa es invertible ya que $\varphi$ tiene una inversa. Por lo tanto, es un invariante topológico del grupo.

Se puede pensar en $\mathfrak{X}_G(\Gamma)$ como un espacio de moduli de subgrupos de $G$ que surge como imagen homomórfica de un grupo de tipo fijo $\Gamma$ .

Esta invariante de $\Gamma$ tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas y de la física matemática (normalmente cuando $\Gamma$ está generada finitamente). Si buscas en Google "variedad de caracteres", o haces una búsqueda en arXiv o MathSciNet (si tienes acceso) encontrarás muchos trabajos de investigación sobre el tema.