Probando eso $\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)\zeta(2k)}{2^{2k-1}}$.

Question

Wolfram$\alpha$ dice que tenemos la siguiente identidad $ $ \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=1+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)\zeta(2k)}{2^{2k}} $ $

pero, ¿cómo se prueba tal identidad?

Answer 1

Es bien sabido que $ $ \pi\cot(\pi x)=\frac 1x-2\sum_{n=1}^\infty\zeta(2n)x^{2n-1}; $ $ tomando derivados obtenemos $ $ \frac{\pi^2}{\sin^2\pi x}=x^{-2}+2\sum_{n=1}^\infty(2n-1)\zeta(2n)x^{2n-2}; $ $ en particular por $x=\frac12$ $ $ \pi^2=4+2\sum_{n=1}^\infty(2n-1)\zeta(2n)\ frac1 {2^{2n-2}}; $ $ esta es tu fórmula (multiplicada por 4).

Answer 2

No se preocupe por el voto negativo. Es sólo un ataque a mis respuestas.

La serie puede tener la siguiente representación integral

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)\zeta(2k)}{2^{2k-1}} = \int_{0}^{1}\frac{(t^2+1)\ln t}{t^2-1} dt = \frac{\pi^2}{4}-1.$$