¿Cuál es la transformada de Fourier del indicador de la bola unitaria en $\mathbb R^n$? Creo que se conoce como una de las funciones especiales, por lo que estaría feliz de saber cuál.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $\alpha_d = \dfrac{\pi^{d/2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}+1\right)}$ el volumen de la bola unitaria dimensional $d$. Dado que la función característica de la bola de unidad es rotacionalmente simétrica, también lo es su transformada de Fourier, por lo tanto, vamos a calcularlo en el punto $\xi = (0,\,\dotsc,\,0,\,\rho)$ con $\rho > 0$:
$ $ \begin{align} \hat{\chi}_B(\xi) &= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\lVert x\rVert < 1} e^{-i x_n\rho}\, dx_1\, \dotsc\, dx_n\\ &= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{-1}^1 \left(1-x_n^2\right)^{(n-1)/2}\alpha_{n-1} e^{-i x_n\rho}\,dx_n\\ &= \frac{1}{2^{n/2}\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \int_0^\pi \sin^n \varphi e^{-i\rho\cos\varphi}\,d\varphi. \end{align}$ $
Recordando que tenemos las funciones de Bessel
$$J_p(x) = \frac{(x/2)^p}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(p + \frac12\right)}\int_0^\pi \sin^{2p} \varphi e^{-ix\cos\varphi}\,d\varphi,$$
vemos que
$$\hat{\chi}_B(\xi) = \lVert \xi\rVert^{-n/2}J_{n/2}(\lVert\xi\rVert).$$
