Un espacio $X$ con $S^{2n+1}$ como espacio de cobertura universal debe ser orientable.

Question

Problema Si $X$ tiene $S^{2n+1}$ como espacio de cobertura universal, entonces demuestre que $X$ debe ser orientable.

Mi idea: Por contradicción, supongamos $X$ no es coreable. Entonces consideramos el recubrimiento de la orientación de $X$ es decir, tenemos un recubrimiento de 2 hojas, entonces debe existir un subgrupo $H$ del índice 2.

Por otro lado, se sabe que el grupo de transformación de la cubierta, denotado por $G$ es isomorfo a $\pi_1(X)$ . Por lo tanto, tratamos de encontrar alguna información de $G$ ya que todos los elementos de $G$ da un mapa de $S^{2n+1}$

Además, no sé cómo utilizar la dimensión impar $2n+1$

Gracias.

Answer 1

Por el teorema del punto fijo de Lefschetz, todo mapa de grado $-1$ de una esfera impar-dimensional a sí misma tiene un punto fijo. Sin embargo, las transformaciones de la cubierta no tienen puntos fijos, por lo que en este caso tienen que tener grado $+1$ y conservar la orientación.

Answer 2

Supongamos que $\Gamma$ es el grupo de transformaciones de la cubierta. Como $S^{2n+1}$ es compacto, $|\Gamma|$ debe ser finito, y que sea $d$ . Tenemos $X=S^{2n+1}/\Gamma$ . La característica de Euler de $X$ debe ser $\displaystyle\frac{\chi(S^{2n+1})}{d}=0$ . Utilizando el hecho de que la toma de cohomología con coeficiente real y la toma de invariantes bajo un grupo finito conmutan, tenemos \begin{eqnarray} H^*(X, \mathbb{R})=H^*(S^{2n+1}, \mathbb{R})^{\Gamma} \end{eqnarray} Así que $H^0(X, \mathbb{R})=\mathbb{R}$ , $H^i(X, \mathbb{R})=0$ para $0<i<2n+1$ . Como $\chi(X)=0$ , $H^{2n+1}(X, \mathbb{R})=\mathbb{R}$ . Esto significa que $X$ es orientable. Así que $\Gamma$ conserva la orientación.