Dejemos que $A=\{a\}$ con $a\in G$ , un grupo. Demostrar que $C_G(a) = C_G(a^{-1})$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y que $ a \in G$ . Si $A = \{a \}$ , demuestre que $C_G(a) = C_G(a^{-1})$

Prueba: Dado que $C_G(a) \le G$ se da que $a^{-1} \in C_G(a)$ Desde $A=\{a\}$ debe ser el caso que $C_G(a) = C_G(a^{-1})$ . ya que no hay otros elementos en A.

Vale no estoy seguro de qué es exactamente $A=\{a\}$ significa. ¿Es el conjunto único? Porque cuando leo el texto dice que $a^n \in C_G(a)$ para todos $ n \in \mathbb{Z}$ . No sé muy bien por dónde empezar.

Answer 1

Para cualquier subconjunto $A \subset G$ definimos $C_G(A)$ como

$$C_G(A):= \{x\in G| xa = ax \ \text{for all} \ a \in A \} $$

Se trata de un conjunto de todos los elementos de su grupo que se comunican con $A$ . $C_G(a)$ es lo mismo que $C_G(\{a\})$ en este caso. Así que quieres demostrar que $xa = ax$ si y sólo si $xa^{-1} = a^{-1}x$ .

\begin{align*} xa & = ax \\ xax^{-1} & = a \\ x a^{-1}x^{-1} & = a^{-1} \\ xa^{-1} & = a^{-1}x \end{align*}

Answer 2

Reclamación. Dejemos que $G$ sea un grupo y que $ a \in G$ . Si $A = \{a \}$ , demuestre que $C_G(a) = C_G(a^{-1})$ .

Comentario rápido: Los centralizadores se definen normalmente para conjuntos, pero la notación $C_G(a)$ para $C_G(\{a\})$ es frecuente. La pregunta probablemente signifique algo así como "demostrar $C_G(A) = C_G(\{a^{-1}\})$ ", que es donde $A$ se utilizaría, pero entonces el autor se confundió. O algo así. En fin...

Prueba de la reclamación: Si $b\in C_G(a)$ entonces tenemos la siguiente secuencia de identidades equivalentes \begin{align*} ab&=ba\\ ab\cdot a^{-1}&=ba\cdot a^{-1}\\ aba^{-1}&=b\\ a^{-1}\cdot aba^{-1}&=a^{-1}\cdot b\\ ba^{-1}&=a^{-1}b \end{align*} Por lo tanto, un elemento $b$ se desplaza con $a$ si y sólo si $b$ se desplaza con $a^{-1}$ . Desde $A={a}$ , $C_G(a)$ son precisamente los elementos de $G$ que conmutan con $a$ y así $C_G(a) = C_G(a^{-1})$ según sea necesario.