Mapa del paquete que induce un isomorfismo en las fibras: ¿cuándo es un isomorfismo?

Question

Supongamos que $\begin{smallmatrix}X\\ \downarrow\\ U \end{smallmatrix}\to\begin{smallmatrix}Y\\ \downarrow\\ U \end{smallmatrix}$ es un mapa de haces que induce homeomorfismos en las fibras.

1. ¿Cuáles son las condiciones generales para que este mapa sea un isomorfismo de haz?
2. ¿Cuál es un ejemplo de tal mapa que no es un isomorfismo de haz?
3. ¿Es este mapa siempre un isomorfismo cuando se restringe a la categoría de espacios localmente conectados?

Editar. Los haces no se suponen localmente triviales. Supongamos también la base $U$ está conectado.

Answer 1

Si $X,Y$ son un haz trivial, digamos $X = Y = U \times F $ entonces su mapa está en el formulario $(u,\lambda) \mapsto (u,\lambda,f_u(\lambda))$ donde $f : U \to \text{Homeo}(F)$ es un mapa continuo. Está claro que este mapa es invertible con la inversa $(u,f_u^{-1}(\lambda))$ .

Para el caso general, queremos ver si $f$ es un homeomorfismo, es decir, si $f^{-1}$ es continua, pero la continuidad es una condición local, así que por el párrafo anterior ya está hecho.