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Encontrar el infimo del conjunto

Digamos que tenemos un conjunto $F=\left\{4+\frac{2}{n^3}:n\in\mathbb{N}\right\}$

Suponemos que $F$ está limitada por debajo por $4$ ya que

$4\lt4+\frac{2}{n^3}$ para $n\in\mathbb{N}$

Ahora mostramos $m=4$ es el mayor límite inferior de $F$ demostrando que si $m'\gt4$ hay un elemento $4+\frac{2}{n^3}$ en $F$ tal que $4+\frac{2}{n^3}\lt m'$ . Si $m'\gt4$

$$ \begin{align} 4+\frac{2}{n^3}\lt m'&\Leftrightarrow \frac{2}{n^3}\lt m'-4\\ &\Leftrightarrow\frac{n^3}{2} \gt \frac{1}{m'-4}\\ &\Leftrightarrow n^3 \gt \frac{2}{m'-4}\\ &\Leftrightarrow n \gt \sqrt[3]{\frac{2}{m'-4}} \end{align} $$

Si tomamos un número entero positivo $n$ que $n\gt \sqrt[3]{\frac{2}{m'-4}}$ , esto da un número $4+\frac{2}{n^3}$ en $F$ tal que $4+\frac{2}{n^3} \lt m'$ .

Por lo tanto, $4$ es el mayor límite inferior de $F$

¿Tengo razón en mi conclusión?

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Netchaiev Puntos 125

Si $m'>4$ ya que $\frac{2}{n^3}\rightarrow 0$ existe $N$ tal que $\forall n\geq N$ , $$ 0< \frac{2}{n^3} \leq \frac{m'-4}{2}$$

En particular $m'>4+\frac{2}{N^3}\in F$ , por lo que no podemos tener $m'>4$ y $4$ es el mayor límite inferior de $F$ .

No es necesario el cálculo...

Pero si realmente quieres : $$ \begin{align} 4+\frac{2}{n^3}\lt m'&\Leftrightarrow \frac{2}{n^3}\lt m'-4\\ &\Leftrightarrow \frac{2}{m'-4}\lt n^3 \\ &\Leftrightarrow n \gt \sqrt[3]{\frac{2}{m'-4}} \end{align} $$

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