Homeomorfismo entre la región por encima de la parábola y $ \mathbb R ^2$

Question

Definir el conjunto $ X = \{ (x,y) \in \mathbb R ^2 : x^2 < y \}. $ Construir un homeomorfismo entre $ X $ y $ \mathbb R ^2 $ .

Gráficamente, $ X $ es la región por encima de la parábola $y = x^2$ , sin incluir las líneas limítrofes. Como está contenida enteramente en el semiplano superior, pensé en intentar algo que implicara logaritmos y consideré $\Phi: X \to \mathbb R ^2, \; (x,y) \to (x, \ln \sqrt y)$ . Tal y como está, $f$ es inyectiva y también continua como la composición de mapas continuos en el dominio de definición pero no he podido demostrar la subjetividad. Para cualquier $ (x,y) \in \mathbb R ^2 $ tenemos $(x,y) = \Phi (x, e^{2y} ) $ pero esta última no está necesariamente contenida en $X$ por lo que no estoy seguro de cómo proceder (o incluso si este tipo de función es la forma correcta a considerar).

Answer 1

Puedes hacerlo en dos pasos:

1. Considere el mapa $$\begin{array}{rccc}\psi\colon&X&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&(x,y)&\mapsto&(x,y-x^2).\end{array}$$ Entonces $\psi$ es un homeomorfismo de $X$ en $\mathbb{R}\times(0,\infty)$ .
2. Ahora, defina un homeomorfismo de $\mathbb{R}\times(0,\infty)$ en $\mathbb{R}^2$ y componen ambos homeomorfismos.

Answer 2

Sugerencia: Para la estrategia $(x,y)\mapsto(x,\star)$ para que funcione, querrá una función de ambos $x$ y $y$ en el $\star$ .