Definir el conjunto $ X = \{ (x,y) \in \mathbb R ^2 : x^2 < y \}. $ Construir un homeomorfismo entre $ X $ y $ \mathbb R ^2 $ .
Gráficamente, $ X $ es la región por encima de la parábola $y = x^2$ , sin incluir las líneas limítrofes. Como está contenida enteramente en el semiplano superior, pensé en intentar algo que implicara logaritmos y consideré $\Phi: X \to \mathbb R ^2, \; (x,y) \to (x, \ln \sqrt y)$ . Tal y como está, $f$ es inyectiva y también continua como la composición de mapas continuos en el dominio de definición pero no he podido demostrar la subjetividad. Para cualquier $ (x,y) \in \mathbb R ^2 $ tenemos $(x,y) = \Phi (x, e^{2y} ) $ pero esta última no está necesariamente contenida en $X$ por lo que no estoy seguro de cómo proceder (o incluso si este tipo de función es la forma correcta a considerar).