Encontrar si un espacio métrico es completo

Question

Dejemos que $(\mathbb{R},d)$ sea un espacio métrico con una función de distancia $d(x,y)=|f(x)-f(y)|,$ donde

$$ f(x) = \begin{cases} &\displaystyle\frac{1}{x-2}, \quad &\text{$x < 2$} \\ &\ln \ x, \quad &\text{$x\ge 2$.} \end{cases} $$

¿Es este espacio métrico un espacio métrico completo? Si no lo es, ¿cuál es su terminación?

Answer 1

Una pista: $f$ es una isometría de $(\mathbb{R},d)$ a un subconjunto de $\mathbb{R}$ dotado de la métrica canónica de $\mathbb{R}$ .

Answer 2

En primer lugar, consideramos nuestro caso particular. Este espacio no es completo y un ejemplo puede ser la secuencia de Cauchy $\{-n+2\}_n$ . De hecho esta secuencia es Cauchy

si $n,m\geq M $ entonces $|f(-n+2)-f(-m+2)|=|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|\leq \frac{2}{M}$

Por el contrario, no es una secuencia convergente en $(\mathbb{R},d)$ . Por contradicción, suponemos $\{-n+2\}_n$ es convergente a algún $\alpha \in \mathbb{R}$ . Entonces uno consigue

$0=\lim_{n\to \infty}d(-n+2, \alpha)=\lim_{n\to\infty } |\frac{1}{n}-f(\alpha)|=|0-f(\alpha)|=|f(\alpha)|$

Esto significa que $f(\alpha)=0$ y esto no es posible porque $f^{-1}(0)=\emptyset$

Así, $(\mathbb{R},d)$ no es un espacio completo.

¿Cuál es el obstáculo para la respuesta positiva? El problema es que la imagen de $f$ no es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ pero sólo el subconjunto $(-\infty ,0)\cup [ln(2), \infty)$

Si se quiere completar este espacio es más conveniente estudiar el problema de forma más general, para entender lo que ocurre en una situación general.

Consideramos una función biyectiva $f: X\to Y$ . Si $Y$ es un espacio topológico, entonces es posible heredar una estructura topológica natural en $X$ por $f$ tal que $X$ y $Y$ son espacios topológicos homeomórficos y $f$ es un homeomorfismo.

Además, si $(Y,d_Y)$ es un espacio métrico que induce esa topología en $Y$ , entonces se puede obtener una métrica $d_X$ en $X$ tal que la topología inducida es la topología heredada en $X$ por $f$ y $f$ no sólo es un homeomorfismo sino también una isometría con respecto a las dos métricas fijadas respectivamente en $X$ y $Y$ . La métrica inducida en $X$ será claramente

$d_X(x,y):=d_Y(f(x),f(y))$

De esta manera se puede observar $(Y,d)$ es un espacio métrico completo si y sólo si $X$ es un espacio métrico completo.

En este punto podemos considerar nuestro caso particular. La biyección en este caso es la siguiente

$f: \mathbb{R} \to (-\infty ,0)\cup [ln(2), \infty)\subseteq \mathbb{R}$

y así $(\mathbb{R}, d)$ no puede ser un espacio métrico completo porque $((-\infty ,0)\cup [ln(2), \infty), |\cdot |)$ no está completo. De hecho, un subconjunto de un espacio métrico completo ( que en este caso es $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ ) es completa si y sólo si es cerrada y en nuestro caso $(-\infty ,0)\cup [ln(2), \infty)$ no está cerrado.

En este punto está claro lo que es una finalización de $(\mathbb{R}, d)$ . La terminación será simplemente el espacio completo

$cl ((-\infty ,0)\cup [ln(2), \infty))=(-\infty ,0]\cup [ln(2), \infty)$

con la métrica $|\cdot |$ .