Extraña pregunta sobre la proababilidad de la lotería

Question

En esta lotería $7$ las bolas se eligen entre $1-60$ . Para ganar el premio principal, debe seleccionar todos los $7$ correcto. Calculo las probabilidades de hacer esto como:

$$1:386,206,920$$

Las probabilidades de conseguir $3$ correcto sería

$$1:38$$

Ahora supongamos que, por la razón que sea, sólo se le permite seleccionar bolas de $1-30$ y no puede elegir $31-60$ . ¿Cambia esto sus probabilidades de ganar? ¿Cuáles son sus probabilidades de obtener el premio mayor y cuáles son sus probabilidades de acertar 3?

Gracias

Answer 1

Por lo que entiendo la pregunta, usted selecciona $7$ -subconjunto de elementos de $\{1, ... , 30\}$ uniformemente, se gana si coinciden con $7$ -subconjunto de elementos seleccionados de $\{1, ... , 60\}$ uniformemente, y esas selecciones son independientes. Supongamos, $X$ y $Y$ son esos subconjuntos respectivamente. Ahora bien, si $Y$ no es un subconjunto de $\{1, ... , 30\}$ entonces la probabilidad de que coincidan es $0$ . También $P(Y = X| Y \subset 30) = \frac{1}{C_{30}^7}$ Así que aquí tenemos $P(X = Y) = P(Y = X, Y \subset 30) = P(Y = X| Y \subset 30)P(Y \subset 30) = \frac{1}{C_{30}^7}\frac{C_{30}^7}{C_{60}^7} = \frac{1}{C_{60}^7}$ .

Es bastante paradójico, pero resulta que ese es el mismo número, como si su elección fuera completamente ilimitada. Y sería así, sin importar a qué subconjunto de $\{1, ... , 60\}$ es su elección restringida (siempre que, por supuesto, este subconjunto contenga no menos de $7$ elementos).