Encuentre $\lim_{x\to0}{\frac{\arctan (2x)}{3x}}$ sin usar '0/0=1'

Question

Encontrar el límite como $$ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2x)}{3x} $$ sin usar $\frac{0}{0} = 1$ .

Quería usar $$ \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0} = \frac{2}{3} \cdot 1, $$ pero nuestro profesor considera $\frac{0}{0}$ un "caso peligroso" y no se nos permite utilizar este método.

Todavía no hemos estudiado las integrales, por lo que no puedo utilizar las fórmulas integrales. Sólo hemos estudiado un poco la toma de derivadas...

Intenté muchas sustituciones, pero fracasé :( ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Dejemos que $u=\arctan(2x)$ Entonces, como $ x \rightarrow 0$ tenemos $u \rightarrow 0$ Así que $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan(2x)}{3x}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{3 \frac{tan(u)}{2}}=\frac{2}{3}\lim_{u \rightarrow 0 } \cos(x) \cdot \frac{u}{\sin(u)}=\frac{2}{3} \lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{\sin(u)} \cdot \lim_{u \rightarrow 0} \cos(u) $

Answer 2

Esto es realmente la derivada de la función $f(x) = \frac{1}{3} \arctan 2x$ en $x = 0$ , escrito a partir de la definición. Como sabes que $\frac{d}{dx} \frac{1}{3} \arctan 2x = \frac{1}{3} \frac{2}{1 + (2x) ^2}$ (¡comprueba esto!), se obtiene el resultado $\frac{2}{3}$ sustituyendo $x = 0$ .

Answer 3

Puedes usar la regla de L'Hospital: $$ \lim_{x\to0}{\frac{\arctan (2x)}{3x}}=\lim_{x\to0}{\frac{\frac{2}{1+4x^2}}{3}}=\frac23. $$

Answer 4

Con equivalentes:

Sabemos que $\arctan u\sim_0u$ Por lo tanto $$\frac{\arctan 2x}{3x}\sim_0\frac{2x}{3x}=\frac23.$$