Cuando es el conjunto de todas las matrices triangulares superiores en $\text{GL}(2, \mathbb{Z}/p \mathbb{Z})$ es abeliano?

Question

En la página 4 de este papel Se ha mencionado que la colección
$$B=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\0 & c\end{pmatrix}~:~a,c \in (\mathbb{Z}/4 \mathbb{Z})^{\times},~ b \equiv 0~(\text{mod}~2) \right\} \leq \text{GL}(2, \mathbb{Z}/4 \mathbb{Z})$$ es abeliana.

Pero mi cálculo no dice esto. Porque, tomemos dos matrices triangulares superiores $M,N \in B$ con $$M=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ 0 & c_1 \end{pmatrix},~N=\begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ 0 & c_2 \end{pmatrix}.$$ Entonces tenemos $$MN=\begin{pmatrix} a_1a_2 & a_1b_2+b_1c_2 \\ 0 & c_1c_2 \end{pmatrix},~NM=\begin{pmatrix}a_2a_1 & a_2b_1+b_2c_1 \\ 0 & c_2c_1 \end{pmatrix}.$$ Para $B$ para ser abeliano, necesitamos $a_1b_2+b_1c_2=a_2b_1+b_2c_1.$

Pero esto no es cierto. Sólo podemos decir $a_1b_2+b_1c_2 \equiv a_2b_1+b_2c_1$ (mod $2$ ).

Así que podemos decir $MN=NM$ ?

En general, cuando es el conjunto $S$ de todas las matrices triangulares superiores en $\text{GL}(2, \mathbb{Z}/p \mathbb{Z})$ es abeliano para $p$ =prime ?

Por supuesto, cuando $S$ contiene sólo matrices diagonales, entonces es abeliano.

¿Cuáles son las otras posibilidades?

Answer 1

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, y sea $B$ sea un grupo abeliano que encaja en la cadena de inclusiones $$\{\pmatrix{a&0\\0&c} : a,c \in R^\times\}=:T \subseteq B \subseteq U:= \{\pmatrix{a&b\\0&c} : a,c \in R^\times, b \in R\}.$$

Conjugación con $\pmatrix{a&0\\0&c}\in T$ mapas $\pmatrix{r&b\\0&s}$ a $\pmatrix{r&ac^{-1}b\\0&s}$ Así pues, para $B$ para ser abeliano necesitamos $R^\times \cdot b =b$ para todos $b$ de tal manera que algunos $\pmatrix{r&b\\0&s} \in B$ .

Por lo tanto, para $T \subsetneq B$ todos los elementos $u-1$ para $u \in R^\times$ tienen que ser divisores de cero en $R$ . (De hecho, tan pronto como un elemento $\pmatrix{1&b\\0&1} \in B$ , se demuestra de forma similar que $b \cdot (a-c) = 0$ para todas las unidades $a,c$ es decir, si $b \neq 0$ cada diferencia de unidades por pares debe ser un divisor de cero en $R$ .)

Y, en cuanto existe $1 \neq a \in R^\times$ , entonces el conjunto completo $U$ de triángulos superiores no puede ser abeliana (tomar $b=1$ en lo anterior), de hecho todos los elementos $b$ que aparecen en alguna esquina superior derecha tienen que ser también divisores de cero.

---

En particular, dejemos que $n \ge 2$ . Si $R$ contiene $\mathbb Z/n$ o $\mathbb Z$ , una inclusión estricta $T \subsetneq B$ es imposible a menos que $n$ está en paz.

Si, por el contrario, $n=2m$ y $R=\mathbb Z/n$ entonces se puede comprobar directamente que $B=\{\pmatrix{r&b\\0&s}: r,s \in R^\times, b \in m\cdot(\mathbb Z/n) \}$ es efectivamente abeliana. El tuyo es el caso $m=2$ .

Para $R= \mathbb Z/n$ el conjunto completo $U$ es abeliano si y sólo si $n=2$ .