El grado de la suma de dos polinomios (pregunta de prueba)

Question

Sea $R$ un anillo y sean $f = (a_0,a_1,a_2,...)$ y $g = (b_0,b_1,b_2,...)$ polinomios arbitrarios y sea $\deg f = m$, $\deg g = n$. Entonces $\deg(f+g) = \max\{m,n\}$, si $m\neq n$ o $\deg(f+g) \leq m$, en el caso $m = n$.

La propia prueba es bastante fácil, pero hay un detalle que no entiendo del todo. El autor demuestra tres casos: $m < n$, $n < m$ y $m = n. Al final de la prueba, se pregunta por qué no se podría haber eliminado simplemente el segundo caso $n < m$ y considerar los dos primeros casos como uno solo $m < n$ sin pérdida de generalidad.

Esto es exactamente lo que yo habría hecho y por eso no tengo ni idea a qué se refiere. :)

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Atajos como estos pueden ser difíciles de entender, pero una vez que lo haces, hacen la vida más fácil.

El conjunto original de casos es: $m < n$, $m > n$ y $m=n$. Pero hay que notar que la afirmación de la proposición es simétrica en $f$ y $g. Es decir, cambiar el papel de $f$ y $g$ en la afirmación crea una afirmación equivalente. Básicamente, $\max\{m,n\} = \max\{n,m\}$, y si $m=n$, $\deg(f+g) \leq m \iff \deg(f+g)\leq n$.

Lo que significa que realmente solo hay dos casos: o $m=n$ o $m\neq n$. Si $m=n$, utiliza el mismo argumento que en la demostración "tricotómica" (de tres casos). Si $m \neq n$, bueno, uno de ellos debe ser menor que el otro. Llamemos al menor $m$ y al mayor $n$. La simetría de la proposición dice que está bien hacer esto. Ahora usamos el caso $m

Otra forma de ver la simetría en la proposición es reescribirla sin nombrar las variables:

1. Si dos polinomios tienen el mismo grado, el grado de la suma es a lo sumo este grado común.
2. Si dos polinomios tienen grados distintos, el grado de la suma es el máximo de los grados de cada polinomio.

Pero por supuesto, necesitas nombrarlos para hacer algo. Para probar el caso 1, necesitas nombrar dos polinomios genéricos del mismo grado. Llámalos $f$ y $g$ y su grado $n$. Para probar el caso 2, necesitas nombrar dos polinomios genéricos de diferente grado. Llama al que tiene un grado menor $f$ (y su grado $m$), y al que tiene un grado mayor $g$ (y su grado $n$).

Cuando se utilizan simplificaciones como esta en demostraciones, escribimos el lema "sin pérdida de generalidad". Significa que este supuesto adicional no omite realmente casos de la demostración.

Después de publicar, noté el comentario de @mfl en el mismo sentido. Su observación adicional también vale la pena explicarla más detalladamente. El profesor estaba reconociendo que esta puede ser la primera vez que ves un argumento de este tipo. Pero como dije al principio, puede tomar un par de explicaciones antes de que esto se entienda.