¿Los subgrupos de un grupo finito 2-generado son también 2-generados?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, generado por dos elementos. Si $H\le G$ es un subgrupo, debe $H$ ¿también se genera por 2 elementos?

Answer 1

Los grupos simétricos $S_n$ son generados por dos elementos, a saber, el ciclo completo $(1\;2\;\ldots\;n)$ y la transposición $(1\;2)$ . Todo grupo finito es un subgrupo de un grupo simétrico por el teorema de Cayley. Por tanto, si la afirmación fuera cierta, todo grupo finito estaría generado por 2 elementos, lo cual es claramente falso.