Me gustaría entender cómo se forma una onda de choque a partir de las ecuaciones de comservación. Sé cómo obtener una ecuación de onda con una aproximación perturbativa (es decir, asumiendo una perturbación muy pequeña) pero no puedo entender cómo extender el problema considerando la no linealidad. En particular me gustaría entender el proceso de empinamiento de la onda. También cualquier recurso sobre este tema es bien aceptado (tal vez con no demasiado formalismo matemático). Gracias.
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Estoy especializado en acústica, por lo que hablaré de la formación de choques en ese contexto. Hay otras formas en que se pueden formar choques (por ejemplo, el flujo supersónico sobre una barrera rígida), pero como pueden ser diferentes (no lo sé), las excluiré de mi discusión.
La acústica lineal es, como dices, una perturbación de las ecuaciones de la mecánica de fluidos. Si el término de la pequeña perturbación es $\epsilon$ la velocidad máxima de las partículas sobre la velocidad de la onda, o el número de Mach acústico, entonces la acústica lineal resulta de despreciar todos los términos $O(\epsilon^2)$ . Si, por el contrario, sólo se descuidan los términos $O(\epsilon^3)$ se obtendrá un conjunto de ecuaciones no lineales. Estas ecuaciones dan cuenta de más fenómenos que las ecuaciones lineales.
Uno de los nuevos fenómenos que se tienen en cuenta es la convección ondulatoria. Si se tiene una velocidad de partícula distinta de cero, esa velocidad de partícula puede actuar como una especie de viento. La porción de una onda acústica que se propaga donde hay una velocidad de partícula positiva tendrá la sensación de que la velocidad de la onda es en realidad la velocidad de la onda regular más la velocidad local de las partículas. Del mismo modo, si la velocidad de la partícula es negativa (o va hacia atrás en relación con la dirección de propagación), entonces la velocidad de la onda parece ser un poco menor que la velocidad de la onda regular. El efecto neto de este comportamiento, llamado convección de ondas, es que cuanto mayor es la amplitud de una porción de una onda, más rápido viaja.
Ahora imagina una onda sinusoidal generada en $x=0$ (imagen de Wikilibros). Observa en la imagen cómo los picos parecen avanzar un poco más que los valles. Finalmente, se llega al punto en el que un pico supera a la depresión que tiene delante (parte derecha de la imagen). Si siguiéramos la tendencia después de ese punto, acabaríamos con una onda que tiene valores superpuestos en un mismo punto del espacio. Esto es lo que ocurre con las ondas de agua (piense en las olas que chocan), pero no puede ocurrir con las ondas acústicas. En cambio, después de que el pico y la depresión se encuentren, se forma una discontinuidad en la presión acústica y en la velocidad de las partículas (nótese que estamos ignorando las pérdidas lineales termoviscosas en este punto). Esta discontinuidad es una onda de choque.
Naturalmente, para las ondas de baja amplitud el efecto de convección de las ondas es cada vez menos importante, por lo que sólo aparece en el $O(\epsilon^2)$ términos. Además, he simplificado la discusión; hay otros fenómenos que inciden en la formación de choques, pero creo que la convección ondulatoria es la dominante.
Cualquier referencia que pueda darte será de matemáticas relativamente pesadas, pero una que puede ser un poco más fácil es "Nonlinear Acoustics" de Beyer. Otras buenas referencias son "Acoustics" de Pierce, y "Nonlinear Acoustics" de Hamilton y Blackstock.
chrisjlee
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En particular, me gustaría entender el proceso de empinamiento de la onda.
La inclinación no lineal de la onda puede considerarse conceptualmente como la onda velocidad de fase en función de la amplitud de la onda. Es decir, las ondas de mayor amplitud se propagarán más rápido que las de menor amplitud. Si no hay nada que limite este proceso de empinamiento, la onda sufrirá rompimiento de olas . Si hay algo que limite la inclinación, se puede evitar que el pulso se rompa. Si el proceso que limita el pulso es irreversible entonces una discontinuidad estable llamada onda expansiva puede formarse.
En un onda acústica la velocidad de la fase, $C$ depende de la densidad de la masa, $\rho$ del fluido en cuestión. Así que para estas ondas tenemos $C = C\left( \rho \right)$ . Si entonces tenemos $\partial_{\rho} C\left( \rho \right) > 0$ Esto indica que la onda se empinará. Es otra forma de decir que la onda es compresiva y que todas las ondas compresivas se empinan en ausencia de una disipación suficiente.
Fenomenológicamente, se puede pensar en una ola que se empina como una serie de pequeños pasos. El escalón más bajo es el más pequeño $C\left( \rho \right)$ y por lo tanto será capturado por el paso inmediatamente posterior. El siguiente paso atrapará a estos dos y así sucesivamente.
También cualquier recurso sobre este tema es bien aceptado (quizás con no demasiado formalismo matemático).
Tengo más discusiones y referencias en: https://physics.stackexchange.com/a/139436/59023
También puede ser útil el siguiente debate: https://physics.stackexchange.com/a/381974/59023
Referencias
- Whitham, G. B. (1999), Ondas lineales y no lineales , Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN:0-471-35942-4.
