Supongamos que una serie $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\dfrac{a_n}{z^n}$$ converge a una función analítica $A(z)$ en algún anillo $R_1<|z|<R_2$ . Esa suma $A(z)$ se llama $z$ -transformación de $a_n$ . Demuestre que si el anillo contiene el círculo unitario $|z|=1$ entonces $$a_n=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\!A\left(e^{i\theta}\right)e^{in\theta}\,\mathrm{d}\theta,\quad n\in\mathbb{Z}$$
No entiendo la primera igualdad en la solución de abajo, \begin{align} a_n&=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{C(0,1)}\!A(z)z^{n-1}\,\mathrm{d}z\\ &=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{-\pi}^{\pi}\!A\left(e^{i\theta}\right)e^{i\theta(n-1)}\cdot ie^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta\\ &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\!A\left(e^{i\theta}\right)e^{in\theta}\,\mathrm{d}\theta \end{align} $$\tag*{$ \N - Plaza negra $}$$ ¿Cómo conseguir la primera igualdad?
