Expectativa condicional de una función convexa.

Question

Digamos que tengo una variable $X \sim P(x)$ distribuido siguiendo alguna distribución que desconozco. Puedo estimar la media y la varianza de la muestra, etc.

Supongamos que transformo como $Y = \exp(X) -1$ .

Mi pregunta es: ¿Existe una fórmula analítica para conectar $\mathbb{E}\big[X\;|\; X>X_0\big]$ a $\mathbb{E}\big[Y\;|\;Y>Y_0\big]$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $X 1\{X>x_0\}$ tiene momentos de todos los órdenes (por ejemplo $X$ está acotado). Entonces, suponiendo que $y_0=e^{x_0}-1$ y $\mathsf{E}[\exp(|X|)1\{X>x_0\}]<\infty$ , $$ \mathsf{E}[Y\mid Y>y_0]=\frac{\mathsf{E}[Y1\{X>x_0\}]}{\mathsf{P}(X>x_0)}=\sum_{m\ge 1}\frac{\mathsf{E}[X^m 1\{X>x_0\}]}{m!\cdot\mathsf{P}(X>x_0)}=\sum_{m\ge 1}\frac{\mathsf{E}[X^m\mid X>x_0]}{m!}. $$

Answer 2

Tenemos $$ \mathbb{E}\big[X\;|\; X>x_0\big] = \int_{x_0}^{+\infty} xP(x){\rm d}x $$ y $$ \mathbb{E}\big[Y\;|\;Y>y_0\big] = \int_{\ln(y_0+1)}^{+\infty} \left({\rm e}^x-1\right)P(x){\rm d}x. $$ Al menos, la desigualdad condicional de Jensen se mantiene: $$ \mathbb{E}\big[Y\;|\;Y>y_0\big]\le\exp\left(\mathbb{E}\big[X\;|\; X>x_0\big]\right)-1 $$ para $y_0 = {\rm e}^{x_0}-1$ .