Líquido en un cilindro rotatorio

Question

He estado preguntando por qué un fluido en rotación, un contenedor tiene una parábola de la forma? Es posible demostrar que este matemáticamente?

Answer 1

Usted tendrá dos fuerzas que actúan en una escuela primaria de la masa del elemento $dm$ en la superficie. La fuerza de la $x$-dirección $dF_{x}=\omega^{2}xdm$ y en el $y$dirección $dF_{y}=gdm$. También, sabemos que la pendiente de la curva es $\tan{\alpha}=dy/dx$. Sin embargo, la tangente es igual también a $\tan{\alpha}=dF_{x}/dF_{y}$. Así que a partir de esto, usted tiene que

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\omega^{2}x}{g}$$

Después de la integración se consigue $$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$$

Que es simplemente la ecuación de una parábola.

Esta es una de dos dimensiones derivación basada en el estancamiento de la interfaz. Una solución más general sería la siguiente. Considerar el eje $Oz$ a lo largo de los cilindros de eje. En este caso, las componentes de la velocidad será $v_{x}=-\omega y$, $v_{y}=\omega x$ ,$v_{z}=0$. Tomando la ecuación de Euler

$$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=-\frac{1}{\rho}\mathrm{grad}p$$

Teniendo en cuenta que $\partial\vec{v}/\partial t=0$, las proyecciones sobre los tres ejes en la ecuación de Euler son

$$x\omega^{2}=\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}$$

$$y\omega^{2}=\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dy}$$

$$\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dz}+g=0$$

La solución general de estas ecuaciones es

$$\frac{p}{\rho}=\frac{1}{2}\omega^{2}(x^{2}+y^{2})-gz+C$$

En la superficie libre, donde la presión es constante, la superficie tiene la forma de un paraboloide.

$$z=\frac{\omega^2}{2g}(x^{2}+y^{2})$$