El Operador Lineal Compacto se define de tal manera que el operador mapeará cualquier conjunto acotado en un conjunto relativamente compacto. ¿Por qué esta propiedad es tan especial como para llamarla "compacta"? ¿Comparte algunas propiedades similares a las de los conjuntos compactos? ¿Cuál es la motivación para definir y estudiar dicho conjunto?
Respuestas
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Xetius
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La motivación para estudiar los operadores compactos es que muchos de los operadores que nos interesan son compactos.
La razón por la que la propiedad de ser compacto es tan especial, como dices, que merecía recibir un nombre es que tiene muchas consecuencias útiles e interesantes, por supuesto.
De hecho, se puede generalizar esto: para casi todos los X e Y, la motivación para estudiar los objetos del tipo X que tienen la propiedad Y es que muchos de los objetos del tipo X que nos interesan tienen la propiedad Y.
Mike
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El conjunto de operadores compactos (en un espacio de Hilbert) es exactamente el conjunto de límites de norma de los operadores de rango finito. Esta es quizás una definición más natural que la que usted indica. Muchas de las buenas propiedades de los operadores de rango finito tienen análogos para los operadores compactos. Se puede considerar que la compacidad es una ligera generalización de ser de rango finito que preserva (o sólo debilita ligeramente) la mayoría de estas propiedades.
Sobre todo, como señala Mariano, los operadores compactos aparecen todo el tiempo "en la naturaleza", por lo que es útil desarrollar su teoría. Puede interesarle el libro Historia del análisis funcional que describe cómo las abstracciones funcionales-analíticas, como la compacidad, surgieron a partir de problemas físicos y EDP concretos.
