Ayuda con esta Primaria $\bf ZF$ ¿Ejercicio de teoría de conjuntos?

Question

1. Demostrar que $x = \emptyset \leftrightarrow x\sim\emptyset$ .
2. Demostrar que $(\exists a)x = \{a\} \leftrightarrow x\sim\{\emptyset\}$ .

Para el primero:

" $\rightarrow$ "

$x = \emptyset \rightarrow f(x) = x$ es una biyección de $x$ a $x$ Por lo tanto $x$ ~ $\emptyset$ .

" $\leftarrow$ "

$x\sim\emptyset \rightarrow \exists f:x \longrightarrow \emptyset$ bijection. Sea $x\neq\emptyset \rightarrow \exists a\in x$ . Desde $f$ está en $\rightarrow f(a) \in \emptyset$ es una contradicción. Así que, $x = \emptyset$

Para el segundo:

Estoy un poco perdido aquí. Podría construir una función $f:x \longrightarrow \{\emptyset\}$ con $f(a) = \emptyset$ pero no sé realmente cómo continuar.

¿Alguna idea?

Answer 1

La primera prueba está bien. Es aún más sencillo decir que si $f\colon x\to\varnothing$ es una biyección, entonces $f\subseteq x=x\times\varnothing=\varnothing$ y así $f=\varnothing$ . Desde $x=\operatorname{dom}f$ , $x=\varnothing$ también.

En cuanto a la segunda, tiene razón. Definiendo la función $\{\langle a,\varnothing\rangle\}$ y probar que es una biyección resolverá una implicación; y en la otra dirección, si $f\colon x\to\{\varnothing\}$ es una biyección utiliza el hecho de que $f$ es inyectiva para demostrar que $x$ no puede tener más de un elemento; y como es suryectiva tiene que tener al menos un elemento.