gcd(2a+1, 9a+4) = 1

Question

La pregunta es de la Teoría Elemental de Números de Burton. Quiero saber si mi prueba es legible. Prueba : Sea $$d=gcd(2a+1, 9a+4)$$ Entonces $$d|2a+1$$ et $$d|9a+4$$ $$2a+1=db$$ y $$9a+4=dc$$ $$a = \frac{db-1}{2}$$ y $$a= \frac{dc-4}{9}$$ Igualando ambas ecuaciones : $$9db-9=2dc-8$$ $$d(9b-2c) = 1$$ $$9b-2c = \frac{1}{d}$$ Ahora, como b y c son números enteros, por lo tanto $\frac{1}{d}$ es un número entero, es decir, d divide a 1 y por lo tanto $$gcd(a, b)= d = 1$$ .

Answer 1

Dividir $2a+1$ en $9a+4$ dando $9a+4 = 9/2\cdot (2a+1) - 1/2$ o $2(9a+4) = 9(2a+1)-1$ o $1= -2(9a+4) + 9(2a+1)$ . Así que cada divisor de $9a+4$ et $2a+1$ divide $1$ .

Answer 2

A mí me parece bien. A continuación, algunos puntos de vista:

Un poco de formato puede ayudar a la legibilidad. En gran parte de tu respuesta tienes pares de ecuaciones que van juntos, pero los pares que van juntos no son los que aparecen cerca uno del otro.

Después de "por lo tanto $\frac{1}{d}$ es un número entero", puedes decir simplemente "así que $d=1$ y ya está". Recuerde que $d=1$ es precisamente lo que queremos demostrar, por lo que es innecesario continuar con más cálculos una vez que se ha llegado a esa conclusión.

Y personalmente, probablemente habría utilizado el algoritmo euclidiano en su lugar.

Answer 3

Como dijo Siong Thye Goh, podemos utilizar el algoritmo euclidiano para guiarnos hacia una prueba. El algoritmo euclidiano se basa en el hecho de que $gcd(x,y)=gcd(x,y-tx)$ . Si tomamos $x=2a+1$ , $y=9a+4$ y $t=4$ , entonces obtenemos $gcd(2a+1,9a+4)=gcd(2a+1,a)$ . Aplicándolo de nuevo con $x=a$ , $y=2a+1$ , $t=2$ obtenemos $gcd(2a+1,a)=gcd(1,a)$ . A partir de ahí, es fácil ver que el gcd es $1$ .

Answer 4

Parece estar bien.

Alternativamente,

$$9a+4=4(2a+1)+a$$

$$2a+1=2(a)+1$$

Por lo tanto,

$$1=(2a+1)-2a=(2a+1)-2(9a+4)+8=9(2a+1)-2(9a+4)$$

Es el máximo común divisor de $2a+1$ et $9a+4$ debe dividir $1$ . Por tanto, el máximo común divisor es $1$ .