Mostrar $2$ es mínimo $n$ donde $(0,\pi/n)$ es el primer intervalo con $\tan A<\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}<\tan C$ para $0<A<B<C<\pi/n$

Question

Si $\left(0,\frac{\pi}{n}\right)$ es el primer intervalo positivo tal que $$\tan A<\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\cos A+\cos B+\cos C}<\tan C$$ para $0<A<B<C<\frac{\pi}{n}$ entonces el valor mínimo de $n$ es ...

(A) $1\qquad$ (B) $3\qquad$ (C) $2$ (respuesta correcta) $\qquad$ (D) $4$

Mi solución: en $n=4$ , puse $\pi/6$ donde se produjo la igualdad. ¿Pero cómo lo resuelvo? ¿Debo poner varios valores y comprobarlo?

Answer 1

Obsérvese que el seno es creciente y el coseno es decreciente en $(0,\pi/2)$ y ambos son positivos. Entonces para $A,B,C$ como en el caso anterior, tenemos $$ \tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}= \frac{3\sin(A)}{3\cos(A)}<\frac{\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)}{\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)} $$ $$ \tan(C) = \frac{\sin(C)}{\cos(C)}= \frac{3\sin(C)}{3\cos(C)}>\frac{\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)}{\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)} $$ No podemos tener $n=1$ porque con $A=\pi/6,$ $B=\pi/3$ , $C=2\pi/3$ , $\tan(C)$ es negativo pero los otros dos términos son positivos.