$\int_X |f_n - f| \,dm \leq \frac{1}{n^2}$ para todos los $n \geq 1$ $\implies$ $f_n \rightarrow f$ una.e.

Question

Deje $(X, M, m)$ ser una medida arbitrario en el espacio. Deje $f_n, f \in L^1_m(X)$. Suponga que $$\int_X |f_n - f| \, dm \leq \frac{1}{n^2} \text{ for all }n \geq 1. $$ Then I want to show that $f_n \rightarrow f$ a.e. on $X$.

Pensé que ya tenemos la norma de la convergencia, tenemos una larga $f_{n_k}$ $f_n$ convergentes a$f$.e. ¿La condición de $\int_X |f_n - f| \,dm \leq \frac{1}{n^2}$ todos los $n \geq 1$ implica algo más fuerte que la norma de la convergencia?

Answer 1

Desde

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| f_n - f \right| $$

es integrable, esta suma es finita una.e. Esto implica que la serie converge a.e., por lo tanto, tenemos $|f_n - f| \to 0$.e.