Cómo resolver $y' = -2x -y$

Question

Mi opinión:
$\displaystyle\frac{dy}{dx}+x^0y=-2x$
Considerándolo como una forma de ecuación lineal, $\displaystyle\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$
Multiplicando $e^{\int1dx} = e^x$ en ambos lados,
$e^x\displaystyle\frac{dy}{dx}+e^xy=-2xe^x$
$\displaystyle\frac{d}{dx}(e^xy)=-2xe^x$
$e^xy=\int-2xe^xdx$
$e^xy=-2(xe^x-e^x)$
$y=-2(x-1)+C$

Me parece que la solución es errónea porque no puedo volver a mi pregunta original desde aquí.
¿Es correcta mi respuesta? Si no es así, ¿puede alguien decirme cómo resolver este problema con una explicación?

Answer 1

$\displaystyle\frac{dy}{dx}+y=-2x$ que es lineal en $y$

$IF=e^{\int1dx} = e^x$ Por lo tanto, la solución general viene dada por

$e^xy=\int-2xe^xdx+c$

$e^xy=-2(xe^x-e^x)+c$

$y=-2(x-1)+ce^{-x}$

$y+2(x-1)=ce^{-x}$

Answer 2

Primera nota $y=-2(x-1)+C$ es la solución si y sólo si $C=0$

Ahora toma $y(x)=-2(x-1)+k\cdot e^{-x}$ donde $k$ es una constante arbitraria. Tenemos $y'(x)=-2-k\cdot e^{-x}$ y así $y'+y=-2x$ y tenemos una solución de la oda diferente a la que has derivado.

¿Cómo lo conseguí?

Obviamente la función que tienes ( $y(x)=-2(x-1)$ ) es una solución particular de la oda. La teoría de lineal nos dice que la solución general es la suma de esa solución particular y una solución de la oda homogénea correspondiente a saber $y'+y=0$ cuya solución general es $k\cdot e^{-x}$ por lo que la solución general de la oda no homogénea es $y(x)=-2(x-1)+k\cdot e^{-x}$ como se esperaba.

¿Qué pasa si no se tiene una solución particular de la oda lineal no homogénea

Se parte de la solución general de la ecuación homogénea, es decir $C\cdot e^{-x}$ y dejas que la "constante varíe". Precisamente se busca una solución a la oda no homogénea de la forma $y(x)=C(x)\cdot e^{-x}$ . Tenemos $y'=C'(x)\cdot e^{-x}-C(x)\cdot e^{-x}=-y-2x$

Esto da $C'(x)=-2x\cdot e^x$ . Integrando por partes obtenemos $C(x)=-2(x-1)\cdot e^x+k$ y así $y(x)=-2(x-1)+k\cdot e^{-x}$ como se esperaba.

¿Dónde está tu error?

Simplemente olvidaste que una primitiva está definida hasta una constante cuando integraste la derivada de $x\cdot e^x$ y luego añadió una constante al final sin ninguna razón.

Answer 3

En primer lugar, consideremos la solución homogénea del problema: $y' = -y$ con la solución $y(x) = Ce^{-x}$ para alguna constante $C$ . Entonces mira $C = C(x)$ y al introducirlo en la ecuación se obtiene: $C'(x)e^{-x} = -2xe^x$ que nos da $C(x) = \int -2xe^x dx = 2e^x(1-x)$ . Finalmente obtenemos $y(x) = Ae^{-x} + 2(1-x) $ para una constante A.