Problema de las vecindades en el análisis real

Question

Demuestre que si $a,b \; \epsilon\; \mathbb R$ entonces existe $\varepsilon$ barrios U de $a$ et $V$ de $b$ tal que $U \cap V = \varnothing $ .

Ya he definido los conjuntos $V_{\varepsilon}(a):= \{x\epsilon R: |x-a| < \varepsilon\}$ et $U_{\varepsilon}(b):= \{y\epsilon R: |y-b| < \varepsilon\}$ pero no sé cómo seguir adelante. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Haz un dibujo. Si $\epsilon=\frac{|b-a|}{3}$ es evidente que los intervalos $(a-\epsilon, a+\epsilon)$ et $(b-\epsilon, b+\epsilon)$ no tienen ningún punto en común.

Si queremos ser muy formales, supongamos por el contrario que $|b-x|\lt \epsilon$ et $|x-a|\lt \epsilon$ . Entonces, por la desigualdad del triángulo $$|b-a|\le |b-x|+|x-a|\lt 2\epsilon \lt |b-a|,$$ que es imposible.

Answer 2

Supongamos que $b>a$ y que $$ \varepsilon=\frac{b-a}{2}. $$ Entonces \begin{align} V_\varepsilon(a)\cap V_\varepsilon(b)&=\big(a-\tfrac{b-a}{2},a+\tfrac{b-a}{2}\big) \cap \big(b-\tfrac{b-a}{2},b+\tfrac{b-a}{2}\big) \\ &=\big(\tfrac{3a-b}{2},\tfrac{a+b}{2}\big)\cap\big(\tfrac{a+b}{2},\tfrac{3b-a}{2}\big)=\varnothing. \end{align}