Cómo deducir la relación límite $\lim_{x\to0} \frac{e^{cx}-1}{x}=c$

Question

Dejemos que $f(x) = e^{cx}$ donde $c$ es constante. Demuestre que $f'(0)=c$ y usar esto para deducir la relación de límite $$\lim_{x\to0} \frac{e^{cx}-1}{x}=c$$ Probando $f'(0)=c$ es fácil pero no estoy seguro de cómo se demuestra el límite.

Answer 1

Mira la expansión de la serie:

$$e^{cx} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(cx)^{n}}{n!} $$

Restando uno y dividiendo por x sale:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(cx)^{n-1}}{n!} = c + \sum_{n=2}^\infty \frac{(cx)^{n-1}}{n!}$$

Todos los términos para n>=2 contienen alguna potencia no nula de x y se acercan a cero a medida que x se acerca a cero.