Cómo deducir la relación límite $\lim_{x\to0} \frac{e^{cx}-1}{x}=c$

Question

Dejemos que $f(x) = e^{cx}$ donde $c$ es constante. Demuestre que $f'(0)=c$ y usar esto para deducir la relación de límite $$\lim_{x\to0} \frac{e^{cx}-1}{x}=c$$ Probando $f'(0)=c$ es fácil pero no estoy seguro de cómo se demuestra el límite.

Answer 1

Sugerencia: Si se aplica el definición de la derivada a la función $f$ en el punto $x = 0$ ¿Qué límite tendría que calcular?

Answer 2

He pensado que podría ser instructivo presentar un enfoque que no se basa en el cálculo diferencial, sino que se basa únicamente en las desigualdades para $x<1$

$$1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x}$$

que mostré en ESTA RESPUESTA utilizando únicamente la definición de límite de la función exponencial y la desigualdad de Bernoulli.

Entonces, tenemos

$$c\le \frac{e^{cx}-1}{x}\le \frac{c}{1-cx}$$

con lo que aplicando el teorema de la compresión se obtiene el codiciado límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0}\frac{e^{cx}-1}{x}=c}$$

Answer 3

Es la definición de la derivada : $$f'(0)=\lim_{x\to0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$

¿Se puede pasar de ahí?

Answer 4

Sugerencia . Podemos recordar que, para cualquier función diferenciable $f$ cerca de $a$ , uno tiene

$$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to f'(a) $$

como $x \to a$ .

Answer 5

Para $0 < x < 1$ , $1+x < e^x < \dfrac1{1-x}$ .

Por lo tanto, si $0 < x < \dfrac1{c}$ , $1+cx < e^{cx} < \dfrac1{1-cx} $ o $cx < e^{cx}-1 < \dfrac1{1-cx}-1 =\dfrac{cx}{1-cx} $ o

$\begin{array}\\ c &< \dfrac{e^{cx}-1}{x}\\ &<\dfrac{c}{1-cx}\\ &=c+\dfrac{c^2x}{1-cx}\\ &<c+2c^2x \qquad\text{for } cx < \frac12 \text{ or } x < \frac1{2c}\\ \end{array} $

Dejar $x \to 0$ , $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{cx}-1}{x} = c $ .