Estoy tratando de derivar la transformación gauge para el campo de carga conjugada de un quark doblete (quark zurdo) tal que su campo $Q$ se transforma bajo $SU(2)$ y $SU(3)$ como:
$SU(2):$ $Q \rightarrow \exp\left[ \frac{i}{2}\theta^{a} \sigma^{a}\right] Q$ , donde $\sigma^{a}$ son las matrices de Pauli y $\theta^{a}$ algún parámetro del grupo.
$SU(3):$ $ \rightarrow \exp\left[ \frac{i}{2}\alpha^{a} t^{a}\right] Q$ , donde $\alpha^{a}$ es algún parámetro del grupo y el $t^{a}$ son $SU(3)$ generadores en la representación fundamental, por ejemplo las matrices de Gell-Mann.
Ahora necesito encontrar las transformaciones correspondientes para $SU(2)$ y $SU(3)$ para el campo de carga conjugado de $Q$ definido como: $Q^{c}\equiv i\gamma^{2}\gamma^{0}\bar{Q}^{T}$ .
Lo que empecé a hacer es tratar de encontrar $\delta Q^{c}$ para ambos casos:
$SU(2):$ $Q^{c}\rightarrow i\gamma^{2}\gamma^{0}(1-\frac{i}{2}\theta^{a}{\sigma^{a}}^{\ast}) Q^{\ast}$ entonces $\delta Q^{c}=i\gamma^{2}\gamma^{0}(-\frac{i}{2}\theta^{a}{\sigma^{a}}^{\ast})Q^{\ast}$ Ahora mi pregunta es cómo me desplazo ${\sigma^{a}}^{\ast}$ con las matrices gamma aquí para que pueda obtener una $Q^{c}$ en el LHS?
Tengo la misma pregunta para el $SU(3)$ caso:
$SU(3):$ $\delta Q^{c}=i\gamma^{2}\gamma^{0}(-\frac{i}{2}\alpha^{a}{t^{a}}^{\ast})Q^{\ast}$ . ¿Las matrices de Gell-Mann conmutan aquí con las matrices gamma o no?
Muchas gracias y perdona si es una pregunta demasiado de principiante.
