¿Cuál es la intuición que hay detrás de la fórmula de la Co-Area?

Question

Trabajo principalmente en estadística y sólo conozco la teoría básica de las medidas. Estaba tratando de entender la fórmula de Co-Area de Federer.

Si $f:\mathbb{R}^M\to \mathbb{R}^N$ es una función Lipschitz con $M \geq N$ entonces $$ \int_A J_N f(x) d\mathcal{L}^M x = \int_{R^N} \mathcal{H}^{M-N} (A\cap f^{-1}(y)) d\mathcal{L}^N y $$

¿Podría alguien darme una intuición de lo que implica la fórmula y lo que significa en la práctica? En particular, este es un ejemplo sencillo que estoy tratando de entender: supongamos que estamos en 2 dimensiones y hay una curva definida por una función

¿Qué nos dice la fórmula de la co-área en este contexto?

He aquí algunas cuestiones prácticas:

• Mi entendimiento es que tenemos algún espacio de dimensión $M$ y en ella un colector de dimensión $M-N$ y nos gustaría calcular el área de este colector utilizando la medida de Hausdorff. ¿Es esto lo que ocurre?
• Estoy completamente perdido en cuanto a por qué necesitamos $A\cap f^{-1}(y))$ ¿cuál es la intuición que hay detrás de esto?
• En el lado derecho tenemos $\mathcal{H}^{M-N}$ . Estoy familiarizado con la medida de Lebesgue $d\lambda$ Sin embargo, estoy perdido en cuanto a por qué parece que tenemos tanto la medida de Lebesgue como la de Hausdorff en el lado derecho. Pensé que sólo deberíamos tener la medida de Hausdorff en el lado derecho.

Answer 1

Esto se entiende más fácilmente cuando $N = 1$ . Supongamos que $A \subset \mathbb{R}^m$ es un dominio acotado y $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ es una función suave cuyo gradiente es siempre distinto de cero.

Sus conjuntos de nivel son hipersuperficies no intersecantes. Supongamos primero que se quiere calcular el volumen de la $A$ en términos de superficie de las hipersuperficies. Supongamos que $a$ es el inf de $f$ en $A$ y $b$ es el sup. Se puede dividir el intervalo $[a,b]$ en subintervalos de igual tamaño $I_1 = [t_0,t_1], \dots, I_N = [t_{N-1},t_N]$ de tamaño $\delta = (b-a)/N$ . El volumen de $A$ es la suma de los volúmenes de $f^{-1}(I_k)$ . Por otra parte, cada $f^{-1}(I_k)$ es una cáscara de espesor variable. En cada punto, el grosor es aproximadamente $\Delta t/|\nabla f|$ . Así que el volumen de la cáscara es aproximadamente $$ V(f^{-1}(I_k)) \simeq \Delta t\int_{f^{-1}(t_k)}\frac{dA}{|\nabla f|}, $$ donde $dA$ es el $(M-1)$ -medida de Hausdorff en $f^{-1}(t_k)$ . Sumando los volúmenes de las cáscaras y tomando el límite $N \rightarrow \infty$ vemos que el volumen de $A$ es $$ V(A) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{f^{-1}(t)} \frac{dA_t}{|\nabla f|}\,dt, $$ donde $dA_t$ es el $(M-1)$ -medida de Hausdorff de $f^{-1}(t)$ .

Si, por el contrario, integra $|\nabla f|$ en $A$ utilizando el mismo enfoque, se obtiene $$ \int_{f^{-1}(I_k)} |\nabla f|\,dx \simeq \Delta t\int_{f^{-1}(t_k)}|\nabla f|\frac{dA}{|\nabla f|}, $$ y por lo tanto $$ \int_A |\nabla f|\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{f^{-1}(t)}\,dA_t\,dt $$ El $N>1$ es similar, excepto que se corta $\mathbb{R}^N$ en pequeños trozos rectangulares y utilizar el hecho de que la sección transversal de la imagen inversa de cada trozo es aproximadamente un paralelogramo cuyo volumen es $(J_Nf)^{-1}$ . y por lo tanto $$ \int_A J_Nf\,dx = \int_{\mathbb{R}^N} \int_{f^{-1}(y)}\,dA_y\,dy, $$ donde $dA_y$ es el $(M-N)$ -medida de Hausdorff en $f^{-1}(y)$ .

La fórmula general es $$ \int_A \phi(x)\,dx = \int_{\mathbb{R}^N} \int_{f^{-1}(y)} \phi(x)\frac{dA_y}{J_Nf}\,dy $$

Answer 2

En primer lugar, se deduce de la aproximación por funciones características que la fórmula de la OP se generaliza a $$ \int_{R^M} u(x) J_N(Df(x)) \, d\mathcal{L}^{M} = \int_{R^N} \Big(\int_{f^{-1}(z)}u\, d\mathcal{H}^{M-N}\Big)d\mathcal{L}^N(z)\, , $$ para cada medida $u\colon R^M \to [0,+\infty]$ . Es parte de la afirmación de que los diferentes componentes son medibles y que las integrales tienen sentido.

Esto significa que para integrar una función $u$ podemos integrar primero a lo largo de las fibras que vienen de la función $f$ . El ejemplo más conocido es el teorema de Fubini: Si se toma $f(x_1,\cdots,x_M) = (x_1,\cdots,x_N)$ .

El siguiente ejemplo es la integración en coordenadas esféricas: tomemos $f:R^M \to R^1$ sea $f(x)=|x|$ .

Así que debe ser un buen comienzo para la intuición.

Cuestiones delicadas e importantes:

1. Incluso para los suaves $f$ no podemos garantizar que todas las fibras $f^{-1}(z)$ serán colectores (y mucho menos de dimensión $M-N$ ). Ejemplo: $f(x,y)=x^2-y^2$ y un conjunto de niveles de cero. En el caso de Lipschitz, se puede dibujar cualquier forma y dejar que $f(x)$ sea la distancia de $x$ a ese conjunto. Obviamente, $f$ es Lipschitz y el conjunto de niveles de cero es la forma con la que empezó. La razón por la que la fórmula del coárea sobrevive a esto es que si $f$ es Lipschitz, entonces para a.e. $z$ los conjuntos $f^{-1}(z)$ será contablemente $\mathcal{H}^{M-N}$ -rectificable y la integración contra la medida de Hausdorff tendrá sentido.

2. Integrabilidad de $z \to \mathcal{H}^{M-N}(f^{-1}(z)\cap A)$ no es fácil. Requiere la llamada desigualdad de coárea.

3. La fórmula del coárea no es evidente ni siquiera para los conjuntos $A$ ¡de medida cero!

4. Existe una demostración de la fórmula del coárea que utiliza el teorema de la función implícita para "enderezar" las fibras de modo que la demostración se reduce al teorema de Fubini.

Pictóricamente, si $U$ es un conjunto (medible) en $R^M$ (aquí en mi foto $R^2$ ) entonces $F^{-1}(z)$ (aquí muestra $z=a_1,a_2,\cdots$ dibujado) "foliado" $U$ . La fórmula del coárea dice que la integración sobre $U$ puede hacerse primero mediante la integración a lo largo de estas fibras/conjuntos de niveles.